ortogonalność macierzy i przekształcen

[raczka555]

witam
jeśli chcę otrzymać macierz przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ F \left( x,y,z \right) = \left( 2x+y,-x+2y,-\sqrt{5}z \right)}\) to trzeba zapisać te wektory po kolumnach, czy po wierszach?
Mój chłopak miał na ćwiczeniach takie zadanie: Zbadaj ortogonalność następujących macierzy i przekształceń: a) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&1 \\ 0&1\end{bmatrix}}\), b) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}\cos x & \sin x \\ \sin x&-\cos x\end{bmatrix}}\), c) \(\displaystyle{ F \left( x,y,z \right) = \left( 2x+y,-x+2y,-\sqrt{5}z \right)}\)
i mówił, że na ćwiczeniach zapisywali w przykładach a i b po kolumnach, czyli np w a) \(\displaystyle{ v_1=(1,0),v_2=(1,1)}\), w b) \(\displaystyle{ v_1= \left( \cos x, \sin x \right) , v_2= \left( \sin x, -\cos x \right)}\), a z kolei w przykładzie c) zapisywali to po wierszach, czyli macierz tego przekształcenia to \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}2&1&0 \\ -1&2&0 \\ 0&0&-\sqrt{5}\end{bmatrix}}\), więc tutaj zapisuje się te wektory po wierszach.
tak więc która wersja jest poprawna? czy może jest taka zasada, że jak jest ortogonalność macierzy, to po kolumnach, a jak przekształcenia, to po wierszach (chociaż wątpie)

[Mistrz]

Ale jaką sprzeczność w tym widzisz?

Jeśli chcesz napisać macierz jakiegoś przekształcenia liniowego to piszesz w wierszach kolejne współczynniki tak jak w c). A teraz jeśli chcesz stwierdzić czy to przekształcenie ma macierz prostopadłą to patrzysz czy kolumny macierzy są parami prostopadłe.

[raczka555]

Po prostu nie rozumiem dlaczego raz się patrzy na kolumny, a raz na wiersze i z czego to wynika.

[Mistrz]

A ja widzę to tak: zawsze patrzymy na kolumny. Zobacz, jak mamy \(\displaystyle{ F(x,y,z)= (2x+y, -x +2y, -\sqrt{5}z)}\) to jakie współczynniki stoją przy \(\displaystyle{ x}\) na kolejnych pozycjach? Odpowiedź: \(\displaystyle{ (2, -1, 0)}\). Dokładnie to samo, co stoi w pierwszej kolumnie macierzy przekształcenia \(\displaystyle{ F}\).

[raczka555]

A później jak mamy przekształcenie \(\displaystyle{ G(x,y,z)=(ax+by+cz, dx+ey+fz, gx+hy+iz)}\) to piszemy macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i\end{bmatrix}}\) i sprawdzamy ortogonalność dla wektorów \(\displaystyle{ V_1=(a,b,c),v_2=(d,e,f),v_3=(g,h,i)}\) czy \(\displaystyle{ v_1=(a,d,g),v_2=(b,e,h),v_3=(c,f,i)}\)? Bo na ćwiczeniach były podane takie przykłady, że obojętnie które się policzyły, to iloczyny skalarne i normy są równe, ale przecież nie zawsze tak musi być...

[Mistrz]

Pionowo, \(\displaystyle{ (a,d,g),(b,e,h),(c,f,i)}\).