Macierz - układ równań

[nocnyzwierz]

Czy dobrze rozpisałem następujący układ równań w postaci macierzowej?
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+y+z=0\\3x-y+2z=1\\-x-4y-3z=-3 \end{array}}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\3&-1&2\\-1&-4&-3\end{array}\right] *\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\1\\-3\end{array}\right]}\)

Czy to jest poprawnie? Jak to rozwiązać?

[loitzl9006]

Dobrze rozpisałeś.

Trzeba znaleźć macierz odwrotną do macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\3&-1&2\\-1&-4&-3\end{array}\right]}\), a następnie pomnożyć obustronnie równanie przez tę macierz odwrotną.

Potem po prawej stronie wykonać mnożenie macierzy: odwrotna razy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}0\\1\\-3\end{array}\right]}\).

[nocnyzwierz]

Wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ detA=5 \neq 0}\) tak więc można zrobić odwrotność macierzy.

Umiem wyznaczyć odwrotność ale czy to będzie na pewno tak jak powiedziałeś? Skoro znajdę macierz odwrotną to czy nie wystarczy pomnożyć obie strony równania przez macierz odwrotną i tyle? Trzeba później jeszcze raz mnożyć prawą stronę i macierz odwrotną?

A druga sprawa...macierz odwrotna to \(\displaystyle{ \frac{1}{detA}}\) razy transpozycja macierzy odwrotnej. Czyli ostatecznie muszę przemnożyć jeszcze \(\displaystyle{ \frac{1}{detA}}\) razy tą transpozycję żeby uzyskać macierz odwrotną?-- 28 paź 2012, o 21:10 --Ok moje wyliczenia na macierz odwrotną:

\(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{5} \left[\begin{array}{ccc}11&-1&-4\\7&-2&1\\-13&3&-4\end{array}\right]}\)

[loitzl9006]

Jak poprzestaniesz na pomnożeniu obu stron przez macierz odwrotną to po prawej dostaniesz iloczyn dwóch macierzy... A w takiej postaci chyba się nie zostawia? Trzeba wymnożyć te macierze.

A macierz odwrotna do \(\displaystyle{ A}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{det \ A}}\) razy transponowana macierz dopełnień algebraicznych do macierzy \(\displaystyle{ A}\).

Powinno wyjść

\(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{5} \cdot \left[\begin{array}{ccc}11&-1& \red 3 \black \\7&-2&1\\-13&3&-4\end{array}\right]}\)

[nocnyzwierz]

Czyli podsumowując - obie strony trzeba pomnożyć razy macierz odwrotną, w tym że lewą stronę raz, a prawą dwa razy

[loitzl9006]

Lewą stronę raz - zgadza się. Dostaniesz po lewej iloczyn trzech macierzy: \(\displaystyle{ A, A^{-1}}\) i \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}0\\1\\-3\end{array}\right]}\)

Ponieważ iloczyn macierzy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ A^{-1}}\) daje macierz jednostkową, a macierz jednostkowa razy macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}0\\1\\-3\end{array}\right]}\) daje macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}0\\1\\-3\end{array}\right]}\). Lewa strona rozkminiona.

Teraz prawa: to co napisałeś to nie do końca tak: trzeba też raz pomnożyć przez macierz odwrotną (tak samo jak lewą stronę).

Z tym że po tym pomnożeniu będziesz miał po prawej iloczyn macierzy

\(\displaystyle{ \frac{1}{5} \cdot \left[\begin{array}{ccc}11&-1& 3 \\7&-2&1\\-13&3&-4\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}0\\1\\-3\end{array}\right]}\)

i teraz musisz wykonać takie mnożenie jak powyżej.

[nocnyzwierz]

A to po lewej nie dostanę iloczynu \(\displaystyle{ A, A^{-1} i \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]}\) ?? Dlaczego \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}0\\1\\-3\end{array}\right]}\) ?

[loitzl9006]

A to po lewej nie dostanę iloczynu \(\displaystyle{ A, A^{-1}}\) i \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]}\) ??

Oczywiście dostaniesz taki właśnie iloczyn. Mój błąd - przepraszam.

[nocnyzwierz]

Nie ma sprawy!
czyli prawą stronę nie trzeba tak jak mówiłem dwukrotnie przemnożyć razy macierz odwrotną tylko jeden raz. Główny widz polega na tym, że najpierw trzeba wykonać iloczyn macierzy, a dopiero potem przemnożyć razy \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\) czy kolejność nie odgrywa znaczenia?

[gblablabla]

Kolejność dowolna.
Ja bym zapisał równanie i przemnożył obustronnie przez \(\displaystyle{ 5}\) - będzie bez ułamków.