czy zbiory sa podprzestrzeniami

[snd0cff]

Witam, dopiero zaczynam zabawę z algebra liniowa. Troche teorii pochnalalem i przyszedl czas na zadania:
Sprawdz, ktore z nastepujacych zbiorów sa podprzestrzeniami w \(\displaystyle{ R ^{3}}\):
1. \(\displaystyle{ A= {(x,y,z):x+y+2z=2}}\)
2. \(\displaystyle{ B = {(x,y,z):x \ge 0 }}\)
Problem polega na tym, ze nie wiem co zrobic, jakies wskazowki?

[kamil13151]

Jakie 2 warunki muszą zachodzić?

[snd0cff]

dobre pytanie...
pewnie a\(\displaystyle{ \cdot u \in U}\)
i \(\displaystyle{ u+v \in U}\)
ale za wiele mi to nie mówi

[Spektralny]

1. \(\displaystyle{ (0,0,0)\notin A}\)
2. \(\displaystyle{ (1,0,0)\in B}\) ale \(\displaystyle{ (-1, 0,0)\notin B}\).

[snd0cff]

@
czyli B, jest podprzestrzenia, a A nie jest?

[kamil13151]

Spektralny, pokazał, że oba zbiory nie są podprzestrzeniami.

W pierwszym pokazał, że wektor zerowy nie należy do zbioru.
W drugim warunek mnożenia przez skalar okazał się nie spełniony.

[snd0cff]

no to jeszcze 3 przykład.
\(\displaystyle{ C={(x,y,z):x=2z, y=0}}\)
i ten juz chyba jest podprzestrzenia, ale jak to formalnie zapisac?

[kamil13151]

Każdy wektor należący do zbioru możemy zapisać jako \(\displaystyle{ (2z,0,z)}\). Sprawdź teraz czy wektor pomnożony przez dowolny skalar spełnia równanie czyli \(\displaystyle{ \alpha(2z,0,z)}\). Drugi warunek, weźmy dwa dowolne wektory: \(\displaystyle{ (2z_1,0,z_1)}\) oraz \(\displaystyle{ (2z_2,0,z_2)}\), teraz wystarczy sprawdzić czy spełnione jest \(\displaystyle{ (2z_1,0,z_1)+(2z_2,0,z_2)}\).