Dowód na podprzestrzeń

[kaska93]

\(\displaystyle{ V=R[x] _{2}}\)
\(\displaystyle{ W=\left\{ w \in V|w(-1)=w(2)=0\right\}}\)
Uzasadnić, że \(\displaystyle{ W=lin(x ^{2}-x-2)}\)

[Spektralny]

Zbiór \(\displaystyle{ W}\) składa się z wielomianów, które mają dwa miejsca zerowe: -1 i 2. Muszą to być więc pewne funkcje kwadratowe bądź wielomian zerowy. Dokładniej, wiemy, że są one postaci \(\displaystyle{ a(x+1)(x-2)}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest dowolne. Wielomian \(\displaystyle{ x^2-x-2}\) spełnia oczywiście te warunki (\(\displaystyle{ a=1}\)) więc generuje jednowymiarową podprzestrzeń \(\displaystyle{ W}\).