Wyznacz współrzędne wektora d w bazie a, b, c

[transistor152]

Witam. Mam takie polecenie:
Sprawdzić liniową niezależność wektorów
a) a,b,c
b) b,c,d
jeśli: a = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]}\), b = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\2\\0\end{array}\right]}\), c = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\1\\3\end{array}\right]}\), d = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}-1\\-3\\3\end{array}\right]}\) oraz wyznaczyć współrzędne wektora d w bazie a, b, c. Sprawdzić, czy wektor d jest kombinacją liniową wektorów b i c.

I teraz proszę o sprawdzenie, czy to co zrobiłem jest dobrze i o wytłumaczenie mi jak się wyznacza te współrzędne wektora d w bazie a, b, c.

No więc co zrobiłem. Najpierw sprawdziłem, czy są liniowo niezależne, więc policzyłem ich rzędy:

a) rz\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&2&0\\1&1&3\end{array}\right]}\)=3 <-- czyli są niezależne

b) rz\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&0\\1&1&3\\-1&-3&3\end{array}\right]}\)=3 <-- czyli są liniowo niezależne

Potem sprawdziłem, czy wektor d jest kombinacją liniową b i c (nie jestem pewny, czy poprawnie to obliczyłem)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}-1\\-3\\3\end{array}\right]}\)=b\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\2\\0\end{array}\right]}\)+c\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\1\\3\end{array}\right]}\)

wyszedł mi taki układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b+c=-1\\2b+c=-3\\3c=3 \end{cases}}\)
i obliczyłem z niego, że b=-2, c=1, czyli wektor d jest kombinacją liniową wektorów b i c.

Czy to co zrobiłem jest poprawne i jak wyznaczyć współrzędne wektora d w bazie a, b, c?

[octahedron]

Skoro da się go przedstawić jako kombinację \(\displaystyle{ \vec{b}}\) i \(\displaystyle{ \vec{c}}\), to po prostu \(\displaystyle{ a=0}\)