udowodnic twierdzenie

[leszczu450]

Witam, do udowodnienia mam takie twierdzenie dzialania na macierzach:

\(\displaystyle{ A \cdot \left( B+C\right) = A \cdot B + A \cdot C}\)

i nie wiem jak sie za nie zabrac. Prosze o pomoc : )

[Mistrz]

Trzeba sobie oznaczyć: \(\displaystyle{ A = [a_{i,j}]_{1 \le i \le k, \ 1 \le j \le m}, \ B=[b_{i,j}]_{1 \le i \le m, \ 1 \le j \le n}, \ C=[c_{i,j}]_{1 \le i \le m, \ 1 \le j \le n}}\) i wykonać odpowiednie działania.

[leszczu450]

No ale jak zapisać chociazby \(\displaystyle{ B + C}\) ?-- 26 paź 2012, o 14:28 --Czy w takim razie \(\displaystyle{ B + C}\) bedzie sie rownalo \(\displaystyle{ [\left(b+c\right) _{i,j}]}\)

[Mistrz]

Prawie. Wyraz na pozycji \(\displaystyle{ i,j}\) w macierzy \(\displaystyle{ B+C}\) to będzie \(\displaystyle{ b_{i,j} + c_{i,j}}\). Wiesz, jak zrobić mnożenie?

[leszczu450]

Mnozenie samo w sobie wiem jak zrobic, ale nie wiem jak tutaj sie za to zabrac. Zapisać to jako \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n} [a_{i,j}][d_{i,j}]}\) gdzie \(\displaystyle{ [d_{i,j}]= [(b+c)_{i,j}]}\) ??

-- 26 paź 2012, o 18:26 --

Dobra, zrobilem ale nie wiem czy dobrze. Prosze zatem kogos o sprawdzenie mojego dowodu

Twierdzenie: \(\displaystyle{ A \cdot \left( B+C\right)= AB + AC}\)
\(\displaystyle{ A= \left[a_{i,j} \right]_{m \times n}}\)
\(\displaystyle{ B= \left[b_{j,k} \right]_{n \times p}}\)
\(\displaystyle{ C= \left[c_{k,l} \right]_{n \times p}}\)
\(\displaystyle{ m,n,p \in \mathbb{N}}\)

\(\displaystyle{ B+C =\left[\begin{array}{ccc}b_{11}+c_{11}&...&b_{1p}+c_{1p} \\\vdots&...&\vdots\\b_{n1}+c_{n2}&...&b_{np}+c_{np} \end{array}\right]}\)

Teraz moge zapisac, że:
\(\displaystyle{ b_{11}+c_{11}= d_{11}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ b_{np}+c_{np}= d_{np}}\)

Teraz: \(\displaystyle{ e_{ij}}\) - dowolny wyraz \(\displaystyle{ A \cdot \left( B+C\right)}\)
\(\displaystyle{ e_{ij}= \sum_{k=1}^{n}a_{ik} \cdot d_{kj}}\)
\(\displaystyle{ A \cdot B = \sum_{k=1}^{n}a_{ik} \cdot b_{kj}}\)
\(\displaystyle{ A \cdot C = \sum_{k=1}^{n}a_{ik} \cdot c_{kj}}\)
\(\displaystyle{ A \cdot B + A \cdot C = \sum_{k=1}^{n}a_{ik}\left(b_{kj}+c_{kj} \right)}\)
\(\displaystyle{ A \cdot B + A \cdot C = \sum_{k=1}^{n}a_{ik}\left(d_{kj}} \right)=A \cdot D= A \cdot \left( B+C\right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ D=B+C}\) no i \(\displaystyle{ d_{kj} = d_{np}}\) Mam nadzieje, ze takie indeksowanie nie ejst bledne i ze mozna tak zmieniac indeksy na koncu : )
Dobrze? : ) Pozdrawiam, Mikolaj

[Mistrz]

Tak. Zasadniczo właśnie o to chodziło i masz dobrze. Ale są błędy notacyjne. Na przykład piszesz \(\displaystyle{ A+B = \hbox{cośtam}}\), a to cośtam nie jest sumą tych macierzy \(\displaystyle{ A, B}\), tylko wyrazem który stoi na pozycji \(\displaystyle{ i,j}\) w tej sumie.