kombinacja liniowa

[54321]

Mam dwa zadanka bardzo proszę o wytłumaczenie.
1. dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ k}\) wektor \(\displaystyle{ u=(2,1,k)}\) da się jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów \(\displaystyle{ v=(k,-1,1)}\) i \(\displaystyle{ w=(-4,3,5)}\)
2. zbadać czy dowolnego wektor \(\displaystyle{ u=(x_1,x_2,x_3) \in \RR^{3}}\) da się zapisać jako kombinacje liniowa wektorów \(\displaystyle{ v_1=(1,1,-1 ), \ v_2=(3,1,0), \ v_3=(2,0,1)}\) bardzo proszę o pomoc z góry dziękuje za okazana pomoc.

[kamil13151]

1) Z definicji co powinno zachodzić?

[Premislav]

2. Aby to było możliwe, te trzy podane wektory muszą być liniowo niezależne. Zauważ, że \(\displaystyle{ v _{2}=v _{1}+v _{3}}\). Wniosek?

[54321]

odnośnie 1 to dalej nie wiem jak zrobić a co do 2 to nauczyciel na ćwiczeniach kazał nam w ten sposób to zapisywać\(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},x_{3})=a(1,1,-1)+b(3,1,0)+c(2,0,1)}\) i z tego mi wyszły trzy równania \(\displaystyle{ a+3b+2c=x_1, \ \ a+b=x_2, \ \ -a+c=x_3}\) i następnie doszłem do takiego czegoś\(\displaystyle{ b+c= \frac{1}{2} (x_{1}-x_{2})}\)oraz\(\displaystyle{ b+c= \frac{1}{3} (x_{1}+x_{3})}\)źle coś zrobiłem ze tak mi wyszło? jeszcze raz bardzo proszę o pomoc. Z góry za wszystko dziękuje .

[kamil13151]

odnośnie 1 to dalej nie wiem jak zrobić

Zadałem pytanie i nadal nie uzyskałem na nie odpowiedzi.

nauczyciel na ćwiczeniach kazał nam w ten sposób to zapisywać

Nie kazał, a zapewne pokazał jak to można zrobić.

źle coś zrobiłem ze tak mi wyszło?

Źle.

[54321]

wiem że w pierwszym ma być taki zapis z definicji \(\displaystyle{ (2,1,k)=a(k,-1,1)+b(-4,3,5)}\) i z tego powstaje uklad równań. \(\displaystyle{ 2=ak-4b}\) i co 2 jest nie tak ? Moze mi ktos życzliwy pomów. bardzo prosze