czy podzbior jest przestrzenia wektorowa

[54321]

Sprawdzic czy nastepujace podzbiory przestrzenie \(\displaystyle{ R^{n}}\) sa podprzestrzeniemi wektorowymi:
a) \(\displaystyle{ U={(x,y,z) \in R^{3}: x+y-z=0}}\)
b) \(\displaystyle{ U={(x,y,z,t) \in R^{4}: x-2z=0 i 2y+t=0}}\)
c) \(\displaystyle{ U={(x_1,x_2...x_n) \in R^{n}: x_1+x_2+...+x_n=10}}\)
Bardzo prosze o pomoc wszystkim serdecznie dziekuje za okazaną pomoc.

[Kartezjusz]

Pokażę coś ogólniejszego:
\(\displaystyle{ X={x \in \mathbb{R}^{n}; xA=0}}\)jest poprzestrzenią liniową.
Jak pamiętasz układ równań liniowych na ciele można przekształcić na równanie macierzowe.
1.Oczywiście niepusta
\(\displaystyle{ )0 \cdot A =0}\) gdzie \(\displaystyle{ 0 \in \mathbb{R}^{n}}\)
\(\displaystyle{ x,y \in X ,y \in R}\)
\(\displaystyle{ (x+y)A=xA+yA=0+0}\),bo x,y są z podprzestrzeni
\(\displaystyle{ (kx)A=k \cdot xA=k \cdot 0}\)

[54321]

ale macierzy jeszcze nie bralem-- 21 paź 2012, o 18:32 --jest jakis inny sposob te zadanie rozwiazac?

[Kartezjusz]

zostaje sprawdzać warunki.Wiesz zapewne jak wygląda dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar. Liczysz te wyrażenia dla sumy i iloczynu przez skalar,a przez grupowanie i wyłączanie później skalaru przed nawias masz co potrzebujesz.

[54321]

czy moglbys mi to rozpisac dla jedenygo przypadku bo by wiedzial jak to ma byc bo nie weim . bardzo prosze

[miodzio1988]

zostaje sprawdzać warunki

Jakie są te warunki 54321, ?

[54321]

Warunki dla każdego \(\displaystyle{ n,k \in U \Rightarrow u+v \in U}\), a drugi warunek to dla każdego alfa należącego do R i v należącego do U alfa*u należy do \(\displaystyle{ U}\) . ale ja nie wiem jak to udowodnić moimi danymi

[nocnyzwierz]

\(\displaystyle{ R^n}\)
\(\displaystyle{ V}\) - podprzestrzeń wektorowa

Aby następujące podzbiory przestrzeni \(\displaystyle{ R^n}\) były podprzestrzeniami wektorowymi muszą być spełnione dwa następujące warunki:
1. \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{v_1,v_2 \in V} v_1+v_2 \in V}\)
2. \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{ \alpha \in R} \bigwedge\limits_{v \in V} \alpha v \in V \Leftrightarrow \alpha _1v_1+ \alpha _2v_2 \in V}\)

Poradzisz sobie dalej?

Ps. Żeby nie było, że tylko czerpię wiedzę z forum, a sam nie dzielę się...

[54321]

wiem jaki są te warunki ale nie wiem jak to wykorzystać wraz z danymi i do czego mam dojść. bardzo prosze o rozpisanie chodz jednego z tych przykladów które mam rozwiązać.

[nocnyzwierz]

Przykład pierwszy:
\(\displaystyle{ v_1=(x_1,y_1,z_1) x_1+y_1-z_1=0

v_2=(x_2,y_2,z_2) x_2+y_2-z_2=0

v_1+v_2=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)}\)

Oznaczmy sobie sumy wektorów \(\displaystyle{ x_1+x_2=x' , y_1+y_2=y' , z_1+z_2=z'}\)
\(\displaystyle{ x'+y'-z'=0 ?}\)
Powstawiaj i sprawdź.

Drugi warunek podobnie ale z iloczynem \(\displaystyle{ \alpha v_1=( \alpha x_1, \alpha y_1, \alpha z_1)}\)
\(\displaystyle{ x'+y'-z'= \alpha x_1+ \alpha y_1- \alpha z_1= \alpha (x_1+y_1-z_1)= \alpha \cdot 0=0}\)

[54321]

a czy nie powinno byc \(\displaystyle{ v_1+v_2=x_1+y_1+z_1+x_2+y_2+z_2}\)?

[nocnyzwierz]

Źle to rozpisałeś. Oba warunki, które podałem muszą być spełnione ale dlaczego zsumowałeś to w ten sposób?

[54321]

ok zrobiłem tak ja mi powiedzieliście , i mi wyszlo ze a i b są podprzetrzeniami natomiast c nie jest . czy dobrze mi wyszlo?

[Radek44]

dobrze wyszło