Znaleźć bazę i wymiar

[kamil13151]

Otrzymałem: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrrrr}1&0& \frac{3}{5} &0&0\\0&1& \frac{1}{5} &1&0\\0&0&0&0&0\end{array}\right]}\), co by wynikało, że wymiar jest równy \(\displaystyle{ 2}\), a bazą są wektory \(\displaystyle{ \left( 1,0, \frac{3}{5},0, 0 \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( 0,1, \frac{1}{5},1,0 \right)}\) ? Jednak u mnie jest tabelka i sprawdzane jest dla \(\displaystyle{ 1,0}\) oraz \(\displaystyle{ 0,1}\) i wychodzą inne wektory?

Co z tym? Wyznaczyłem 2 wektory, jednak na zajęciach robimy to wg. jakiejś tabelki?

[JakimPL]

Nie wiem, o jaką tabelkę chodzi, ale dodam, że wybór bazy nie jest jednoznaczny, stąd też mogły wyjść inne wektory. Możemy z wektorami bazowymi robić to, co w macierzy operacjami elementarnymi, dalej otrzymując wektory bazowe (tyle że inne). Sprawdź, czy podprzestrzenie liniowe rozpięte przez te wektory nie są te same, co podprzestrzenie uzyskane z doboru otrzymanych na zajęciach wektorów.

[kamil13151]

Wyznaczaliśmy rozwiązanie ogólne \(\displaystyle{ \left( - \frac{3}{5}x_3, - \frac{1}{5}x_3-x_4,x_3,x_4 \right)}\) i tabelka, tzn. podstawialiśmy dla pierwszego \(\displaystyle{ x_3=1 \wedge x_4=0}\) a drugi \(\displaystyle{ x_3=0 \wedge x_4=1}\) i tak oto otrzymywaliśmy dwa wektory. Po co tak robić, skoro od razu z macierzy mamy dwa?

[JakimPL]

Można zauważyć bez wstawiania, że:

\(\displaystyle{ \left( - \frac{3}{5}x_3, - \frac{1}{5}x_3-x_4,x_3,x_4 \right) = \left( - \frac{3}{5}x_3, - \frac{1}{5}x_3,x_3,0 \right)+\left(0,-x_4,0,x_4 \right)=\textrm{lin}\left(\left( - \frac{3}{5}, - \frac{1}{5},1,0 \right),\left(0,-1,0,1 \right)\right)}\)

[kamil13151]

Dzięki

Niech \(\displaystyle{ W \subset \RR^5}\) będzie przestrzenią opisaną układem równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+x_2+2x_3-x_4+x_5=0 \\ 2x_1+3x_2-x_3+2x_4-x_5=0 \end{cases}}\)
a) Znaleźć bazę przestrzeni \(\displaystyle{ W}\). Otrzymaną bazę uzupełnić do bazy przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^5}\).
b) Układ \(\displaystyle{ (1,0,0,1,0), \ (0,1,0,2,1), \ (1,0,0,1,1)}\) uzupełnić do bazy przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^5}\) wektorami leżącymi w przestrzeni \(\displaystyle{ W}\).

Baza to \(\displaystyle{ \textrm{sol}\left(\begin{cases} x_1+x_2+2x_3-x_4+x_5=0 \\ 2x_1+3x_2-x_3+2x_4-x_5=0 \end{cases}\right) = \textrm{lin} ((-7,5,1,0,0), \ (5,-4,0,1,0), \ (-4,3,0,0,1))}\)
Tak mam zapisywać?

Co to znaczy uzupełnić bazę do bazy przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^5}\)? W zeszycie mam \(\displaystyle{ (1,0,0,0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,1,0,0,0)}\), ale nie mam pojęcia skąd to się wzięło.

Jak podpunkt b?

[JakimPL]

Podpunkt \(\displaystyle{ a}\) jest ok. Żeby zrobić kolejny podpunkt, musisz wiedzieć:
- jaka jest przykładowa baza \(\displaystyle{ \mathbb{R}^5}\),
- jaki jest wymiar \(\displaystyle{ \mathbb{R}^5}\), czyli ile musisz dodać wektorów, by mieć bazę \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\). Innymi słowy (w zapisie już napisałem, ile jest tych wektorów):

\(\displaystyle{ \textrm{lin} ((-7,5,1,0,0), \ (5,-4,0,1,0), \ (-4,3,0,0,1)) \cup \textrm{lin} (\vec{v},\vec{u}) = \mathbb{R}^5}\)

[kamil13151]

Znaczy podpunkt \(\displaystyle{ a}\) mam niepełny.

Co to znaczy uzupełnić bazę do bazy przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^5}\)? W zeszycie mam \(\displaystyle{ (1,0,0,0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,1,0,0,0)}\), ale nie mam pojęcia skąd to się wzięło.

- jaka jest przykładowa baza \(\displaystyle{ \mathbb{R}^5}\)

składająca się z 5 niezależnych wektorów?

[JakimPL]

\(\displaystyle{ \textrm{sol}\left(\begin{cases} x_1+x_2+2x_3-x_4+x_5=0 \\ 2x_1+3x_2-x_3+2x_4-x_5=0 \end{cases}\right) = \textrm{lin} ((-7,5,1,0,0), \ (5,-4,0,1,0), \ (-4,3,0,0,1))}\)

Tu zapisałeś, co trzeba.

składająca się z 5 niezależnych wektorów?

Tak, masz \(\displaystyle{ 3}\) niezależne wektory, więc oczywistym jest, że należy znaleźć jeszcze dwa. Tak, by wszystkie dalej tworzyły bazę.

[kamil13151]

Jak je znaleźć?

W zeszycie mam \(\displaystyle{ (1,0,0,0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,1,0,0,0)}\), ale nie mam pojęcia skąd to się wzięło.

[JakimPL]

Jeżeli nie poprzez "to widać, że to muszą być...", to musisz znaleźć, taką piątkę \(\displaystyle{ a,b,c,d,e}\), że układ:

\(\displaystyle{ (a,b,c,d,e) = x_1 (-7,5,1,0,0) + x_2 (5,-4,0,1,0) + x_3 (-4,3,0,0,1)}\)

Stąd poniższy układ:

\(\displaystyle{ \begin{cases}a = -7x_1 + 5x_2 -4x_3 \\ b = 5x_1 - 4x_2+3x_3 \\ c= x_1 \\ d=x_2 \\ e=x_3 \end{cases}}\)

ma być sprzeczny.

[kamil13151]

Czyli mamy dodać dowolny niezależny wektor? Jaki to ma sens? Wtedy przecież to będzie inna baza?

[JakimPL]

Musi być inna baza, bo to będzie baza już nie \(\displaystyle{ W}\), tylko całej przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^5}\).

[kamil13151]

Mamy dodać dowolny niezależny wektor?

[JakimPL]

Dowolny. Jak już mówiłem, wybór bazy nie jest jednoznaczny.

[kamil13151]

Dzięki Te zadanie już wiem jak zrobić.

Następne:
Podać przykład takiego wektora \(\displaystyle{ \alpha \in \left\{ (x_1,x_2,x_3) \in \RR^3 \ | \ x_1+2x_2-x_3=0 \right\}}\), że układ \(\displaystyle{ (2,1,3), \ (1,4,5), \ \alpha}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\). Czy istnieje wektor \(\displaystyle{ \beta \in \textrm{lin} ((3,5,8), \ (-1,3,2))}\) taki, że układ \(\displaystyle{ (2,1,3), \ (1,4,5), \ \beta}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\)? Jeśli tak, to podać przykład takiego \(\displaystyle{ \beta}\).

Zatem mam podać wektor, który jest niezależny od \(\displaystyle{ (2,1,3), \ (1,4,5)}\) i ma współrzędne spełniające równanie. Mam strzelać? np. \(\displaystyle{ (1,1,3)}\) i sprawdzić czy pasuje:
\(\displaystyle{ a(1,1,3)+b(2,1,3)+c(1,4,5)=(0,0,0)}\)?