Znaleźć bazę i wymiar

[JakimPL]

\(\displaystyle{ \left\{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 :\, x_1+2x_2-x_3=0 \right\}}\) - co to jest za zbiór? Można wyznaczyć postać ogólną wektorów należących do niego?

Warto dla uproszczenia rachunków zauważyć, że: \(\displaystyle{ \textrm{lin}((1, 0, 1), (0, 1, 1))=\textrm{lin}((2, 1, 3), (1, 4, 5))}\). Wtedy dobór niezależnych wektorów będzie prosty.

Co do drugiego. Treść zadania jest równoważna temu, że:

\(\displaystyle{ \textrm{lin} ((3,5,8), (-1,3,2)) \cup \textrm{lin}((2,1,3), (1,4,5)) = \mathbb{R}^3}\)

innymi słowy:

\(\displaystyle{ \textrm{lin} ((3,5,8), (-1,3,2), (2,1,3), (1,4,5))}\)

rozpina całą przestrzeń, czyli rząd powyższej podprzestrzeni jest \(\displaystyle{ 3}\) (większy być nie może).

[kamil13151]

co to jest za zbiór? Można wyznaczyć postać ogólną wektorów należących do niego?

Co ta za zbiór? W sensie? Postać ogólna \(\displaystyle{ \left( x_3-2x_2,x_2,x_3\right)}\).

Podpunktu b) nie zrozumiałem

[JakimPL]

co to jest za zbiór? W sensie?

Chodzi tylko o to, że jest to podprzestrzeń liniowa, a na podstawie postaci ogólnej wiemy, że jest to \(\displaystyle{ \textrm{lin}\left((-2,1,0)(1,0,1)\right)}\). W związku z tym, jak poprzednio, sprawdzamy, czy jeśli zsumujemy te dwie podprzestrzenie liniowe, otrzymamy całe \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\). Jeżeli tak, to znaczy, że z tej pierwszej podprzestrzeni liniowej można wybrać wektor liniowo niezależny z danymi wektorami.

Podpunktu b) nie zrozumiałem

Mamy sobie podprzestrzeń wyznaczoną przez wektory \(\displaystyle{ \textrm{lin} ((3,5,8), (-1,3,2))}\). Mamy też dwa wektory \(\displaystyle{ (2,1,3),(1,4,5)}\), które tworzą pewną, kolejną, podprzestrzeń liniową wektorów zależnych, czyli \(\displaystyle{ \textrm{lin}((2,1,3),(1,4,5))}\). My chcemy sprawdzić, czy można wybrać z obu podprzestrzeni \(\displaystyle{ 3}\) niezależne wektory, które będą stanowić bazę całej przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\). To znaczy, że w sumie obie podprzestrzenie rozpinają całą przestrzeń (spróbuj to sobie rozrysować na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) z odpowiednio jednym wektorem mniej, by zauważyć to). A jeżeli jakaś podprzestrzeń rozpięta na kilku wektorach rozpina całą przestrzeń, to można z niej wybrać dokładnie tyle ile wynosi wymiar przestrzeń wektorów niezależnych.

[kamil13151]

a na podstawie postaci ogólnej wiemy, że jest to \(\displaystyle{ \textrm{lin}\left((-2,1,0)(1,0,1)\right)}\).

1. Możemy podstawić dwie dowolne cyfry? W tym przypadku zrobiłeś to dla \(\displaystyle{ 0,1}\) i \(\displaystyle{ 1,0}\)?

W związku z tym, jak poprzednio, sprawdzamy, czy jeśli zsumujemy te dwie podprzestrzenie liniowe, otrzymamy całe \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\).

2. Jak mamy je zsumować?

(spróbuj to sobie rozrysować na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) z odpowiednio jednym wektorem mniej, by zauważyć to

3. Szczerze to nie mam pojęcia co narysować i jak...

[JakimPL]

1. Możemy.

2. Pytanie na logikę: czym jest suma przestrzeni liniowych kombinacji liniowych jednego zbioru wektorów i drugiego zbioru wektorów?

3. Narysuj dwa wektory i narysuj podprzestrzenie liniowe przez nie wyznaczone. Kiedy podprzestrzeń liniowa wyznaczona przez te dwa wektory nie będzie całą przestrzenią? Czy prawdą jest, że podprzestrzeń liniowa wyznaczona przez dwa niezależne wektory jest płaszczyzną?

[kamil13151]

Pytanie na logikę: czym jest suma przestrzeni liniowych kombinacji liniowych jednego zbioru wektorów i drugiego zbioru wektorów?

Też jest jakąś przestrzenią, jednak większą?

3. Nie miałem tego tłumaczonego geometrycznie, nie wiem jak narysować taką podprzestrzeń, szukałem w google, ale znaleźć nie mogę

[JakimPL]

Też jest jakąś przestrzenią, jednak większą?

Rozpisz definicję \(\displaystyle{ \textrm{lin}\left((\vec{a_i})_{i\in I}\right)}\). Bez tego ani rusz.

3. Nie miałem tego tłumaczonego geometrycznie, nie wiem jak narysować taką podprzestrzeń, szukałem w google, ale znaleźć nie mogę

Narysuj układ współrzędnych. Narysuj dwa wektory o początku w \(\displaystyle{ (0,0)}\). Czy nazwa podprzestrzeń liniowa nie jest wystarczająco sugerująca?

[kamil13151]

Rozpisz definicję \(\displaystyle{ \textrm{lin}\left((\vec{a_i})_{i\in I}\right)}\). Bez tego ani rusz.

Chyba chodzi Ci to, że \(\displaystyle{ \textrm{lin}\left((\vec{a_i})_{i\in I}}\) jest kombinacją wektorów \(\displaystyle{ \vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_i}}\) o dowolnych współczynnikach?

Czy nazwa podprzestrzeń liniowa nie jest wystarczająco sugerująca?

Niestety nie jest U mnie w grupie nikt tego nie rozumie, a podobno na WNE UW same szychy Mógłbyś dogłębnie to wytłumaczyć (najlepiej na jakichś przykładach)? Próbuję to pojąć, ale nadal to dla mnie abstrakcja...

[JakimPL]

Chyba chodzi Ci to, że \(\displaystyle{ \textrm{lin}\left((\vec{a_i})_{i\in I}}\) jest kombinacją wektorów \(\displaystyle{ \vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_i}}\) o dowolnych współczynnikach?

Zapisz to formalnie jako zbiór takich... (co dalej?). Potem zsumuj dwa takie zbiory i zobacz, co otrzymałeś. Albo inaczej. Zadanie dla Ciebie:

EDIT: Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową oraz \(\displaystyle{ \dim V<\infty}\). Wykaż, że najmniejsza podprzestrzeń liniowa zawierająca \(\displaystyle{ \textrm{lin}\left((\vec{a_i})_{i\in I}\right) \cup \textrm{lin}\left((\vec{b_j})_{j\in J}\right)}\) jest podprzestrzenią zdefiniowaną jako \(\displaystyle{ \textrm{lin}\left((\vec{a_i})_{i\in I},(\vec{b_j})_{j\in J}\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ \forall_{i\in I} a_i\in V}\) oraz \(\displaystyle{ \forall_{j\in J} b_j \in V}\) dla pewnych niepustych, skończonych zbiorów indeksów \(\displaystyle{ I}\), \(\displaystyle{ J}\).

Niestety nie jest U mnie w grupie nikt tego nie rozumie, a podobno na WNE UW same szychy Mógłbyś dogłębnie to wytłumaczyć (najlepiej na jakichś przykładach)? Próbuję to pojąć, ale nadal to dla mnie abstrakcja...

Mamy \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\). Weźmy dowolny niezerowy wektor zaczepiony w początku układzie współrzędnych. Podprzestrzenią liniową jest prosta zawierająca ten wektor. Dla dwóch wektorów niezależnych (\(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) i więcej np.) będzie to płaszczyzna zawierająca te dwa wektory. I analogicznie dla wyższych wymiarów.

[kamil13151]

Mamy \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\). Weźmy dowolny niezerowy wektor zaczepiony w początku układzie współrzędnych. Podprzestrzenią liniową jest prosta zawierająca ten wektor. Dla dwóch wektorów niezależnych (\(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) i więcej np.) będzie to płaszczyzna zawierająca te dwa wektory. I analogicznie dla wyższych wymiarów.

Wziąłem \(\displaystyle{ 2}\) wektory \(\displaystyle{ [3,0]}\) i \(\displaystyle{ [2,3]}\), dzięki kombinacji liniowej mogę otrzymać dowolny wektor jaki chcę, ee?

Co do Twojego zadania to nie mam zielonego pojęcia, moja algebra jest naprawdę na bardzo niskim poziomie

[JakimPL]

Wziąłem \(\displaystyle{ 2}\) wektory \(\displaystyle{ [3,0]}\) i \(\displaystyle{ [2,3]}\), dzięki kombinacji liniowej mogę otrzymać dowolny wektor jaki chcę, ee?

Tak, bo dla każdego wektora \(\displaystyle{ (a,b)}\) istnieją takie \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\), że:

\(\displaystyle{ (a,b) = x_1(3,0) + x_2(2,3)}\)

co daje układ:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a = 3x_1+2x_2 \\ b = 3x_2\end{cases}}\)

który zawsze ma dokładnie jedno rozwiązanie (dlaczego?).

Co do Twojego zadania to nie mam zielonego pojęcia, moja algebra jest naprawdę na bardzo niskim poziomie

Zacznij od tego, o co prosiłem na samym początku. Pełnej definicji \(\displaystyle{ \textrm{lin}\left((\vec{a_i})_{i\in I}\right)}\). Poczytaj także o sumie algebraicznej.

[miodzio1988]

Wziąłem \(\displaystyle{ 2}\) wektory \(\displaystyle{ [3,0]}\) i \(\displaystyle{ [2,3]}\), dzięki kombinacji liniowej mogę otrzymać dowolny wektor jaki chcę, ee?

A nie? Jakiego nie możesz otrzymać?

[kamil13151]

który zawsze ma dokładnie jedno rozwiązanie (dlaczego?).

Ja właśnie do tego doszedłem... Zdziwił mnie fakt, że mogę otrzymać dowolny wektor (stąd na końcu zdania "ee?"), zatem kombinacją tych dwóch wektorów jest cała płaszczyzna \(\displaystyle{ \RR^2}\)?

Zacznij od tego, o co prosiłem na samym początku. Pełnej definicji \(\displaystyle{ \textrm{lin}\left((\vec{a_i})_{i\in I}\right)}\). Poczytaj także o sumie algebraicznej.

Możesz podrzucić jakieś linki, gdzie jest to "łopatologicznie" wytłumaczone, raczej te na wiki nie są dla mnie

[JakimPL]

... nfieko.pdf

Strzał z Googli. Jest to, o czym tu dyskutujemy.

[kamil13151]

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową oraz \(\displaystyle{ \dim V<\infty}\). Wykaż, że najmniejsza podprzestrzeń liniowa zawierająca \(\displaystyle{ \textrm{lin}\left((\vec{a_i})_{i\in I}\right) \cup \textrm{lin}\left((\vec{b_j})_{j\in J}\right)}\) jest podprzestrzenią zdefiniowaną jako \(\displaystyle{ \textrm{lin}\left((\vec{a_i})_{i\in I},(\vec{b_j})_{j\in J}\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ \forall_{i\in I} a_i\in V}\) oraz \(\displaystyle{ \forall_{j\in J} b_j \in V}\) dla pewnych niepustych, skończonych zbiorów indeksów \(\displaystyle{ I}\), \(\displaystyle{ J}\).

Czy tutaj mamy skorzystać z tego, że: suma \(\displaystyle{ V \cup U}\) jest podprzestrzenią tylko jeśli \(\displaystyle{ V \subset U}\) lub \(\displaystyle{ U \subset V}\)?