Znaleźć bazę i wymiar

[kamil13151]

Znaleźć bazę i wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ lin \left( \left( 1,2,0,1 \right) , \ \left( 2,1,3,3 \right) , \ \left( 0,-3,3,1 \right) , \ \left( 3,4,3,4 \right) \right) \right)}\).

Doszedłem do zadań, których kompletnie nie mogę pojąć. Proszę o dogłębne wyjaśnienie czym jest baza i wymiar przestrzeni oraz jak to się ma do naszego zadania. Definicje z wykładów czy też wiki nie docierają do mnie.

[Marcin_92]

Zacznij od sprawdzenia tego czy wektory są liniowo niezależne.

Jak widać poniżej rząd macierzy jest równy 3, więc wymiar bazy będzie równy 3. Za bazę można przyjąć wektor 1,2,4 z liniowej powłoki gdyż tworzą one układ wektorów liniowo niezależnych i generują całą przestrzeń.

[JakimPL]

Baza to najmniejszy zbiór liniowo niezależnych wektorów spośród tych, co masz wymienionych powyżej. Jeżeli tylko jeden z nich da się przedstawić jako kombinację liniową innych, to znaczy, że jest liniowo zależny. Wymiar to moc zbioru wektorów bazowych.

Żeby sprawdzić, czy wektory są zależne można wrzucić je do macierzy i sprawdzić jej rząd.

\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 3 & 3 \\
0 & -3 & 3 & 1 \\
3 & 4 & 3 & 4
\end{array}
\right] \Rightarrow\left[
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]}\)

Z powyższego wynika, że jeden z wektorów jest liniowo zależny.

[kamil13151]

Hm.. u mnie na zajęciach zapisano inaczej: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrrr}1&2&0&3\\2&1&-3&4\\0&3&3&3\\1&3&1&4\end{array}\right]}\) ?

[JakimPL]

Rząd macierzy transponowanej jest taki sam jak rząd macierzy wyjściowej.

[kamil13151]

Nie miałem jeszcze macierzy transponowanej, jednak czy jest jakaś różnica jak rozwiązujemy?

Wierszy niezerowych jest 3, więc wymiar jest równy 3? Tylko z czego to wynika? Jak wyznaczyć bazę?

[JakimPL]

Zauważ, że przestrzeń rozpięta na wektorach z macierzy po operacjach elementarnych jest taka sama jak wektory z macierzy wyjściowej (widzisz, dlaczego?). Przy tej uwadze, z samej macierzy otrzymujemy bazę, a jest nią:

\(\displaystyle{ \left((1,0,0,1),(0,1,0,0),\left(0,0,1,\frac{1}{3}\right)\right)}\)

\(\displaystyle{ \textrm{lin} \left( \left( 1,2,0,1 \right) , \ \left( 2,1,3,3 \right) , \ \left( 0,-3,3,1 \right) , \ \left( 3,4,3,4 \right) \right) \right)=\textrm{lin}\left((1,0,0,1),(0,1,0,0),\left(0,0,1,\frac{1}{3}\right)\right)}\)

Wymiar jest \(\displaystyle{ 3}\), bo taka jest najmniejsza możliwa ilość wektorów niezależnych. Celowo zapisałem macierz w tamtej postaci, by móc od razu wybrać wektory bazowe w najprostszej postaci.

Żeby nie być gołosłownym, mówiąc, że jest to baza, zobaczmy, że:

\(\displaystyle{ (1,2,0,1) = 1(1,0,0,1) + 2(0,1,0,0)+ 0\left(0,0,1,\frac{1}{3}\right)\\
(2,1,1,3) = 2(1,0,0,1) + 1(0,1,0,0)+ 3\left(0,0,1,\frac{1}{3}\right)\\
(0,-3,3,1) =0(1,0,0,1) - 3(0,1,0,0)+ 3\left(0,0,1,\frac{1}{3}\right)\\
(3,4,3,4) = 3(1,0,0,1) + 4(0,1,0,0)+ 3\left(0,0,1,\frac{1}{3}\right)}\)

[Marcin_92]

Jeśli badasz liniową niezależność to nie ma to żadnego znaczenia. Wynika to z definicji rzędu macierzy. Na oko widać, że wektor \(\displaystyle{ v_{3}=1 \cdot v_{2}-2 \cdot v_{1}+0 \cdot v_{4}}\), więc tworzy z nimi układ liniowo zależny. Wobec tego należy go odrzucić i przyjąć wektor \(\displaystyle{ v_{1},v_{2},v_{4}}\) za bazę.

[kamil13151]

Dziękuję

Znaleźć bazę i wymiar przestrzeni opisanej układem równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x_1-x_2+x_3-x_4=0 \\ x_1+2x_2+x_3+2x_4=0 \\ 4x_1+x_2+2x_3+x_4=0 \end{cases}}\)

Jak postępujemy w takim przypadku?

[Marcin_92]

Tak jak poprzednio, wpisujemy w macierz i liczymy jej rząd.

[kamil13151]

Otrzymałem: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrrrr}1&0& \frac{3}{5} &0&0\\0&1& \frac{1}{5} &1&0\\0&0&0&0&0\end{array}\right]}\), co by wynikało, że wymiar jest równy \(\displaystyle{ 2}\), a bazą są wektory \(\displaystyle{ \left( 1,0, \frac{3}{5},0, 0 \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( 0,1, \frac{1}{5},1,0 \right)}\) ? Jednak u mnie jest tabelka i sprawdzane jest dla \(\displaystyle{ 1,0}\) oraz \(\displaystyle{ 0,1}\) i wychodzą inne wektory?

[Marcin_92]

Za szybko wysłałem swój post, więc przepraszam za wprowadzenie w błąd.
Niech \(\displaystyle{ U={(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \in R^{4}}\) będzie przestrzenią spełniającą powyższy układ równań. Niech \(\displaystyle{ u \in U}\). Rozwiąż ten układ równań (najlepiej metodą Gaussa). Mi wyszło, że jest on zależny od 1 parametru. \(\displaystyle{ u=(0,-t,0,t), t \in R}\). Wektor \(\displaystyle{ u}\) zapisać jako sumę tylu składników ile jest parametrów tak aby każdy składnik zawierał jeden parametr. Czyli w tym przypadku:\(\displaystyle{ U=Lin(0,-1,0,1)}\), więc wymiar bazy jest równy 1.

[JakimPL]

Po uproszczeniu otrzymałem macierz:

\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0
\end{array}
\right]}\)

z której wynika, że \(\displaystyle{ x_1 = 0}\), \(\displaystyle{ x_2 = -x_4}\) oraz \(\displaystyle{ x_3=0}\). Stąd widać, że rozwiązanie można zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x_1 = 0 \\ x_2 = x_2 \\ x_3 = 0 \\ x_4 = -x_2 \end{cases}}\)

Parametryzując układ:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x_1 = 0 \\ x_2 = t \\ x_3 = 0 \\ x_4 = -t \end{cases}}\)

otrzymujemy jeden wektor \(\displaystyle{ (0,t,0,-t)}\), z której wynika, że przestrzeń rozwiązań układu linowego jest przestrzenią rozpiętą na jednym wektorze, tj. \(\displaystyle{ \textrm{sol}\left(\begin{cases} 2x_1-x_2+x_3-x_4=0 \\ x_1+2x_2+x_3+2x_4=0 \\ 4x_1+x_2+2x_3+x_4=0 \end{cases}\right) = \textrm{lin}\left(0,1,0,-1\right)}\).

[kamil13151]

Mój błąd, źle przepisałem: \(\displaystyle{ \begin{cases} 2x_1-x_2+x_3-x_4=0 \\ x_1+2x_2+x_3+2x_4=0 \\ \red 3 \black x_1+x_2+2x_3+x_4=0 \end{cases}}\)

Co to \(\displaystyle{ \textrm{sol}}\) ?

Dlaczego podstawiłeś, że \(\displaystyle{ t=1}\)? Chyba możemy dowolne ?

[JakimPL]

W takim razie wynik masz dobry. Wnioski już chyba dasz radę wyciągnąć sam .

\(\displaystyle{ \textrm{sol}}\) to podprzestrzeń wyznaczona przez zbiór rozwiązań układu liniowego. Podstawiłem \(\displaystyle{ t=1}\), bo najprościej. Zauważ, że dla każdego niezerowego skalara \(\displaystyle{ a}\):

\(\displaystyle{ \textrm{lin}(\vec{v}) = \textrm{lin}(a \cdot \vec{v})}\)

Innymi słowy podprzestrzenie liniowe rozpięte na wektorach przemnożonych przez pewien niezerowy skalar są takie same jak te wyjściowe (widać to?).