Czy podane wektory stanowią bazę w R

[laser15]

Dana jest baza \(\displaystyle{ B=\left\{ v _{1},v _{2},v _{3},v _{4} \right\}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\). Wektor \(\displaystyle{ w=[2, 2, 0, -1]b}\). Czy podane wektory stanowią bazę w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\) ?

a) \(\displaystyle{ v _{1},w,v _{2},v _{3}}\)
b) \(\displaystyle{ v _{1,}v _{2},w,v _{4}}\)

Jak się za to zabrać? Nie mam pomysłu.-- 20 paź 2012, o 20:47 --Podstawiłem sobie za wektory:
\(\displaystyle{ v_{1}=(1,0,0,0)}\)
\(\displaystyle{ v_{2}=(0,1,0,0)}\)
\(\displaystyle{ v_{3}=(0,0,1,0)}\)
\(\displaystyle{ v_{4}=(0,0,0,1)}\)

I sprawdziłem czy w kombinacji liniowej a i b są liniowo niezależne. W pierwszej są ale w drugiej nie więc nie tworzą bazy. Czy to dobre rozumowanie ?

[Marcin_92]

Przedstaw wektor \(\displaystyle{ w}\) w bazie \(\displaystyle{ B}\). Potem wystarczy tylko sprawdzić czy współczynniki w kombinacji liniowej się zerują. Skorzystaj z tego, że wektory z bazy są liniowo niezależne.
B jest dowolną bazą, niekoniecznie standardową.

[laser15]

No właśnie chyba to zrobiłem przynajmniej tak mi się wydaje ;D

[Marcin_92]

No właśnie chyba to zrobiłem przynajmniej tak mi się wydaje ;D

Nie, Ty przyjąłeś, że baza \(\displaystyle{ B}\) jest kanoniczna, a tego nie wiesz z warunków zadania.
\(\displaystyle{ w=2v_{1}+2v_{2}-v_4}\)

a) Przyrównaj kombinację liniową wektorów \(\displaystyle{ v_{1},w,v_{3},v_{4}}\) do wektora zerowego i sprawdź czy z tego wynika zerowanie się współczynników. Skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}}\) są liniowo niezależne.