Dla jakich wartości parametru układ jest liniowy niezależny

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 20 paź 2012, o 20:01

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a \in \RR}\) układ \(\displaystyle{ (0,1,2,a), \ (1,1,3,1), \ (2,1,4,1)}\) jest liniowo niezależny?

Ja zrobiłem to rozpatrując \(\displaystyle{ x(0,1,2,a)+y(1,1,3,1)+z(2,1,4,1)=(0,0,0,0)}\), jednak na ćwiczeniach mam coś takiego \(\displaystyle{ (0,1,2,a)=\alpha_1 (1,1,3,1) + \alpha_2 (2,1,4,1)}\) i nie wiem skąd to wynika? (dlaczego tak można).

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 20 paź 2012, o 20:06

Wektory są liniowo zależne \(\displaystyle{ \iff}\) jeden z nich przedstawia się jako kombinacja liniowa pozostałych. To prosta konsekwencja definicji liniowej niezależności, a tutaj warunek prostszy do rozwiązania zadania.

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 20 paź 2012, o 20:16

jeden z nich

Dowolny? Jak wygląda dowód tego twierdzenia?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 20 paź 2012, o 20:22

kamil13151 pisze:
jeden z nich
Dowolny? Jak wygląda dowód tego twierdzenia?

Nie dowolny.

kamil13151 pisze:\(\displaystyle{ x(0,1,2,a)+y(1,1,3,1)+z(2,1,4,1)=(0,0,0,0)}\)

Gdy \(\displaystyle{ x\ne0}\), to wektor \(\displaystyle{ (0,1,2,a)}\) da się zapisać jako kombinacja liniowa dwóch pozostałych. Tutaj nie może być \(\displaystyle{ x=0}\), bo \(\displaystyle{ (1,1,3,1)}\) i \(\displaystyle{ (2,1,4,1)}\) są liniowo niezależne.