Element neutralny, inwers w iloczynie kartezjańskim(?)

[mz93]

Mam za zadanie zbadac wlasnosci działań. Przyklad: \(\displaystyle{ (a,b) \circ (c,d) = (ac-bd, ad+bc)}\). Zbadałam łącznośc, wewnetrznosc i przemiennosc. Utknęłam na el. neutralnym. Wiem, że \(\displaystyle{ e \cdot a=a \cdot e=a}\). Co dalej?

[Vardamir]

Szukasz takiego elementu, że
\(\displaystyle{ (a,b) \circ (e_{1},e_{2}) = (a, b)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a \cdot e_{1}- b \cdot e_{2}=a\\
a \cdot e_{2}+ b \cdot e_{1}=b\end{cases}}\)

Ponieważ jest przemienne, co podobno udowodniłeś to
\(\displaystyle{ (a,b) \circ (e_{1},e_{2}) = (e_{1},e_{2}) \circ (a,b)}\)

[bb314]

oznaczmy element neutralny \(\displaystyle{ e=(x,y)}\), element \(\displaystyle{ a=(a,b)}\)
\(\displaystyle{ a\ o\ e =(a,b)\ o\ (x,y)=(ax-by,ay+bx)=(a,b)\ \ \to\ \ \begin{cases}ax-by=a\\ay+bx=b\end{cases}}\)
trzeba z tego układu równań wyliczyć x i y

[mz93]

No dobrze, dziękuje;) a inwers?

[bb314]

Element \(\displaystyle{ b=(x,y)}\) jest elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ a=(a,b)}\) jeśli

\(\displaystyle{ a\ o\ b=e\ \ \ \to\ \ \ (a,b)\ o\ (x,y)=(ax-by,ay+bx)=e}\)

\(\displaystyle{ (ax-by,ay+bx)=e}\) - tu wstaw wyliczony element neutralny
otrzymasz układ dwóch równań, z których wyliczysz x i y