Wykazać że następujące pary są przestrzeniami metrycznymi

[Adrian1216]

Tak jak w tytule
mam taką przestrzeń
\(\displaystyle{ (R ^{2},\rho _{8})}\) gdzie \(\displaystyle{ \rho _{8}((x _{1},y _{1}),(x _{2}, y _{2}))= \sqrt{ \left|x _{1}-x _{2} \right| } + \sqrt{\left|y _{1} - y _{2} \right| }}\)

doszłem do trzeciego warunku czyli nierówność trójkąta

\(\displaystyle{ \rho ((x _{1},y _{1}),(x _{2}, y _{2})) + \rho ((x _{2},y _{2}),(x _{3}, y _{3})) \ge \rho ((x _{1},y _{1}),(x _{3}, y _{3}))}\)

czyli
\(\displaystyle{ \sqrt{ \left|x _{1}-x _{2} \right| } + \sqrt{\left|y _{1} - y _{2} \right| }+ \sqrt{ \left|x _{2}-x _{3} \right| } + \sqrt{\left|y _{2} - y _{3} \right| } \ge \sqrt{ \left|x _{1}-x _{3} \right| } + \sqrt{\left|y _{1} - y _{3} \right| }}\)

wychodzę od Lewej
\(\displaystyle{ L:...=( \sqrt{ \left|x _{1}-x _{2} \right| } + \sqrt{\left|x _{2} - x _{3} \right| })+( \sqrt{ \left|y _{1}-y _{2} \right| } + \sqrt{\left|y _{2} - y _{3} \right| }}\)
I teraz pytanie, czy jest jakieś twierdzenie bym mógł to jakoś pod jeden pierwiastek czy coś i skrócił \(\displaystyle{ x _{2})}\)?
Zadanie robię analogicznie jak poprzednie bo chcę się nauczyć może ewentualnie mam gdzieś błąd?

[smigol]

doszłem do trzeciego warunku

Aż tak blisko miałeś?

Zauważ, że \(\displaystyle{ \sqrt{|x_1-x_2|}+ \sqrt{|x_2-x_3|} \ge \sqrt{|x_1-x_3|}}\).

[Adrian1216]

a skąd to wziąłeś?

[smigol]

Nie rozumiem. Chodzi Ci o to jak wpaść na 'pomysł', żeby udowodnić sobie taką pomocniczą nierówność?
Z postaci wyjściowej nierówności, którą mamy udowodnić. Widać, że mamy sumę pierwiastków z iksami i sumę pierwiastków z ygrekami po lewej stronie, a po prawej sumę dwóch pierwiastków, przy czym pod jednym pierwiastkiem same ygreki a pod drugim same iksy. Trochę wprawy trzeba nabrać.

[Adrian1216]

/hmm. ciągle nie wiem o co ci chodzi.....

[smigol]

Czyli ja też nie wiem o co Tobie chodzi. Zadaj konkretne pytanie po prostu...

[Adrian1216]

Po prostu nie mam pojęcia skad to bierzesz. Jakieś przekształcenia? Jeśli tak to zapisz to...

[smigol]

Ale co biorę?!

[Adrian1216]

doszłem do trzeciego warunku

Aż tak blisko miałeś?

Zauważ, że \(\displaystyle{ \sqrt{|x_1-x_2|}+ \sqrt{|x_2-x_3|} \ge \sqrt{|x_1-x_3|}}\).

skąd bierzesz to wyrażenie ...

[smigol]

Z głowy. Chcąc udowodnić nierówność \(\displaystyle{ \sqrt{ \left|x _{1}-x _{2} \right| } + \sqrt{\left|y _{1} - y _{2} \right| }+ \sqrt{ \left|x _{2}-x _{3} \right| } + \sqrt{\left|y _{2} - y _{3} \right| } \ge \sqrt{ \left|x _{1}-x _{3} \right| } + \sqrt{\left|y _{1} - y _{3} \right| }}\) stwierdzam, że dobrze byłoby najpierw pokazać pomocniczą nierównosć \(\displaystyle{ \sqrt{|x_1-x_2|}+ \sqrt{|x_2-x_3|} \ge \sqrt{|x_1-x_3|}}\). Jeśli się uda to udowodniłem (po zsumowaniu pomocniczej nierówności i drugiej -analogicznej dla ygreków) nierówność którą chciałem udowodnić i jestem szczęśliwy.