wartości własne

[aaaaaa16]

mam pytanie czy wartość własna sumy macierzy jest równa sumie wartości własnych poszczególnych macierzy?
mam taki przypadek, że macierz \(\displaystyle{ A^{2}}\) jest równa sumie \(\displaystyle{ (k-1)I+J}\) gdzie \(\displaystyle{ I}\) to macierz identycznościowa a macierz \(\displaystyle{ J}\) to macierz samych jedynek. I w dowodzie mam że wartościami własnymi macierzy \(\displaystyle{ J}\) jest \(\displaystyle{ n}\) i 0 więc wartościami własnymi \(\displaystyle{ A^{2}}\) są \(\displaystyle{ k-1+n}\) i \(\displaystyle{ k-1}\) czyli tak jakby dodawali po prostu te wartości własne. czy jest jakieś twierdzenie które o tym mówi? albo czy to jest jakiś specjalny przypadek?

[Spektralny]

Niech

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\ 0 & 0\end{array}\right],\,B=\left[\begin{array}{cc}0 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right]}\).

Macierze te mają wartość własną 1. Ich suma jest macierzą identyczności (jakie ma wartości własne?).

[aaaaaa16]

ale tu chodzi mi o szczególny przypadek który dokładnie opisałem. nie rozumiem tego co napisałeś, czy przez swój przykład chcesz mi pokazać ze to nie zachodzi?

[octahedron]

Z definicji wartości własnej:

\(\displaystyle{ A^2\vec{u}=\Big[(k-1)I+J\Big]\vec{u}=(k-1)I\vec{u}+J\vec{u}=(k-1)\vec{u}+\lambda_J\vec{u}=\Big(k-1+\lambda_J\Big)\vec{u}=\lambda\vec{u}\\\\
\lambda_1=k-1\\
\lambda_2=k-1+n}\)

[Spektralny]

mam pytanie czy wartość własna sumy macierzy jest równa sumie wartości własnych poszczególnych macierzy?

Nie.

[aaaaaa16]

a czy wartościami własnymi \(\displaystyle{ A^{2}}\) są kwadraty wartości własnych \(\displaystyle{ A}\)?
czyli czy w moim przypadku wartościami własnymi \(\displaystyle{ A}\) są \(\displaystyle{ \sqrt{k-1+n}}\), \(\displaystyle{ -\sqrt{k-1+n}}\),\(\displaystyle{ \sqrt{k-1}}\),\(\displaystyle{ -\sqrt{k-1}}\)???


i jeszcze jedno pytanie czemu macierz symetryczna \(\displaystyle{ n \times n}\) samych jedynek ma wartości własne \(\displaystyle{ n}\)( krotności 1) i 0 (krotności \(\displaystyle{ (n-1)}\))???

[octahedron]

a czy wartościami własnymi \(\displaystyle{ A^{2}}\) są kwadraty wartości własnych \(\displaystyle{ A}\)?

\(\displaystyle{ A\vec{u}=\lambda\vec{u}\\
A^2\vec{u}=A(A\vec{u})=A\lambda\vec{u}=\lambda A\vec{u}=\lambda\cdot\lambda\vec{u}=\lambda^2\vec{u}}\)

czyli czy w moim przypadku wartościami własnymi \(\displaystyle{ A}\) są \(\displaystyle{ \sqrt{k-1+n}}\), \(\displaystyle{ -\sqrt{k-1+n}}\),\(\displaystyle{ \sqrt{k-1}}\),\(\displaystyle{ -\sqrt{k-1}}\)???

Nie wiem, czy to działa też w tę stronę.

i jeszcze jedno pytanie czemu macierz symetryczna \(\displaystyle{ n \times n}\) samych jedynek ma wartości własne \(\displaystyle{ n}\)( krotności 1) i 0 (krotności \(\displaystyle{ (n-1)}\))???

\(\displaystyle{ J\vec{u}=\begin{bmatrix}1&1&...\\1&1&...\\\vdots&\vdots&\ddots\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\\\vdots\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u_1+u_2+...+u_n\\u_1+u_2+...+u_n\\\vdots\end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}u_1\\u_2\\\vdots\end{bmatrix}\\
u_1+u_2+...+u_n\ne 0 \Rightarrow J\vec{u}=(u_1+u_2+...+u_n)\begin{bmatrix}1\\1\\\vdots\end{bmatrix} \Rightarrow u_1=u_2=...=1\Rightarrow \lambda=n\\\\
u_1+u_2+...+u_n=0 \Rightarrow \lambda=0}\)

Na pokazanie krotności nie mam pomysłu.

[aaaaaa16]

dzięki za odpowiedź

to inaczej sformułuje pytanie? jakie są wartości własne(i ich krotność) macierzy kwadratowej n wymiarowej samych jedynek? nie ma jakiegoś prostego sposobu na rozwiązanie?