wektory wlasne

[fuqs]

Niech \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) będą macierzami kwadratowymi owymiaru \(\displaystyle{ n \ge 2}\) nad ciałem\(\displaystyle{ K}\), gdzie \(\displaystyle{ K=R}\) lub \(\displaystyle{ K=C}\). \(\displaystyle{ E(A)}\) oznacza zbiór wektorów własnych macierzy A.

Wykazać, że:

a) Jeśli \(\displaystyle{ K=R}\) i \(\displaystyle{ E(A)=E(B)}\), to niekoniecznie \(\displaystyle{ AB=BA}\)
b) Jeśli \(\displaystyle{ AB=BA}\), to niekoniecznie \(\displaystyle{ E(A)=E(B)}\)

Bardzo proszę o wskazówki, peirwszy krok. Potrzebuję to na jutro.

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ x}\) jest wektorem własnym macierzy \(\displaystyle{ A}\) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje \(\displaystyle{ \lambda}\)
\(\displaystyle{ Ax=\lambda_{1}x}\). Z równości zbiorów mamy \(\displaystyle{ Ax=\lambda_{1} \Leftrightarrow Bx=\lambda_{2}x}\). Weźmy teraz dowolny wektor własny
\(\displaystyle{ ABx=A \lambda_{2}x=\lambda_{2} Ax=\lambda_{1} \lambda_{2} x=\lambda_{2} \lambda_{1}x=\lambda_{1} Bx=B \lambda_{1} x=BAx}\).

[fuqs]

Nie rozumiem...i to sie odnosi do pudpunktu 1) czy 2) ?

[Kartezjusz]

To do a)

[fuqs]

można prosić trochę słów komentarza...?

[Qń]

Kontrprzykład do a):
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc}1&2\\0&1\end{array}\right] ,\left[ \begin{array}{cc}1&0\\1&1\end{array}\right]}\)

Kontrprzykład do b) - wystarczy wziąć jedną macierz jednostkową, a drugą różną od jednostkowej.

Q.

[fuqs]

Kontrprzykład do a):
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc}1&2\\0&1\end{array}\right] ,\left[ \begin{array}{cc}1&0\\1&1\end{array}\right]}\)

Kontrprzykład do b) - wystarczy wziąć jedną macierz jednostkową, a drugą różną od jednostkowej.

Q.

jeśli chodzi o podpunkt a) to faktycznie mnozenie obu tych macierzy nie jest przemienne. Ale: jak wyliczam wektory własne to wektory te dla peirwszej macierzy są w postaci \(\displaystyle{ x _{1} \in R , x _{2}=0}\), a dla drugiej \(\displaystyle{ x _{2} \in R , x _{1}=0}\). Więc \(\displaystyle{ E(A) \neq E(B)}\), czy też się mylę?


tzn. to by pasowało jako kontrprzyklad do podpunktu b) wtedy... ale co poczac z podpunktem a) ?

[Qń]

O, pardą - myślałem o wartościach własnych, a nie wektorach własnych.

Jeśli kontrprzykład w a) istnieje, to na pewno nie może istnieć baza złożona z wektorów własnych, czyli przykładowe macierze muszą być niediagonalizowalne.

Q.

[fuqs]

O, pardą - myślałem o wartościach własnych, a nie wektorach własnych.

Jeśli kontrprzykład w a) istnieje, to na pewno nie może istnieć baza złożona z wektorów własnych, czyli przykładowe macierze muszą być niediagonalizowalne.

Q.

ok, wazne, ze podpunkt 2) jak najbardziej ok wychodzi. tzn. wzialem dowolna macierz i macierz identycznosciowa i wyszlo, ze \(\displaystyle{ E(A) \neq E(B)}\)