wektory wlasne
-
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 22 paź 2006, o 15:18
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 1 raz
wektory wlasne
Niech \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) będą macierzami kwadratowymi owymiaru \(\displaystyle{ n \ge 2}\) nad ciałem\(\displaystyle{ K}\), gdzie \(\displaystyle{ K=R}\) lub \(\displaystyle{ K=C}\). \(\displaystyle{ E(A)}\) oznacza zbiór wektorów własnych macierzy A.
Wykazać, że:
a) Jeśli \(\displaystyle{ K=R}\) i \(\displaystyle{ E(A)=E(B)}\), to niekoniecznie \(\displaystyle{ AB=BA}\)
b) Jeśli \(\displaystyle{ AB=BA}\), to niekoniecznie \(\displaystyle{ E(A)=E(B)}\)
Bardzo proszę o wskazówki, peirwszy krok. Potrzebuję to na jutro.
Wykazać, że:
a) Jeśli \(\displaystyle{ K=R}\) i \(\displaystyle{ E(A)=E(B)}\), to niekoniecznie \(\displaystyle{ AB=BA}\)
b) Jeśli \(\displaystyle{ AB=BA}\), to niekoniecznie \(\displaystyle{ E(A)=E(B)}\)
Bardzo proszę o wskazówki, peirwszy krok. Potrzebuję to na jutro.
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
wektory wlasne
\(\displaystyle{ x}\) jest wektorem własnym macierzy \(\displaystyle{ A}\) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje \(\displaystyle{ \lambda}\)
\(\displaystyle{ Ax=\lambda_{1}x}\). Z równości zbiorów mamy \(\displaystyle{ Ax=\lambda_{1} \Leftrightarrow Bx=\lambda_{2}x}\). Weźmy teraz dowolny wektor własny
\(\displaystyle{ ABx=A \lambda_{2}x=\lambda_{2} Ax=\lambda_{1} \lambda_{2} x=\lambda_{2} \lambda_{1}x=\lambda_{1} Bx=B \lambda_{1} x=BAx}\).
\(\displaystyle{ Ax=\lambda_{1}x}\). Z równości zbiorów mamy \(\displaystyle{ Ax=\lambda_{1} \Leftrightarrow Bx=\lambda_{2}x}\). Weźmy teraz dowolny wektor własny
\(\displaystyle{ ABx=A \lambda_{2}x=\lambda_{2} Ax=\lambda_{1} \lambda_{2} x=\lambda_{2} \lambda_{1}x=\lambda_{1} Bx=B \lambda_{1} x=BAx}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
wektory wlasne
Kontrprzykład do a):
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc}1&2\\0&1\end{array}\right] ,\left[ \begin{array}{cc}1&0\\1&1\end{array}\right]}\)
Kontrprzykład do b) - wystarczy wziąć jedną macierz jednostkową, a drugą różną od jednostkowej.
Q.
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc}1&2\\0&1\end{array}\right] ,\left[ \begin{array}{cc}1&0\\1&1\end{array}\right]}\)
Kontrprzykład do b) - wystarczy wziąć jedną macierz jednostkową, a drugą różną od jednostkowej.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 22 paź 2006, o 15:18
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 1 raz
wektory wlasne
Qń pisze:Kontrprzykład do a):
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc}1&2\\0&1\end{array}\right] ,\left[ \begin{array}{cc}1&0\\1&1\end{array}\right]}\)
Kontrprzykład do b) - wystarczy wziąć jedną macierz jednostkową, a drugą różną od jednostkowej.
Q.
jeśli chodzi o podpunkt a) to faktycznie mnozenie obu tych macierzy nie jest przemienne. Ale: jak wyliczam wektory własne to wektory te dla peirwszej macierzy są w postaci \(\displaystyle{ x _{1} \in R , x _{2}=0}\), a dla drugiej \(\displaystyle{ x _{2} \in R , x _{1}=0}\). Więc \(\displaystyle{ E(A) \neq E(B)}\), czy też się mylę?
tzn. to by pasowało jako kontrprzyklad do podpunktu b) wtedy... ale co poczac z podpunktem a) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
wektory wlasne
O, pardą - myślałem o wartościach własnych, a nie wektorach własnych.
Jeśli kontrprzykład w a) istnieje, to na pewno nie może istnieć baza złożona z wektorów własnych, czyli przykładowe macierze muszą być niediagonalizowalne.
Q.
Jeśli kontrprzykład w a) istnieje, to na pewno nie może istnieć baza złożona z wektorów własnych, czyli przykładowe macierze muszą być niediagonalizowalne.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 22 paź 2006, o 15:18
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 1 raz
wektory wlasne
Qń pisze:O, pardą - myślałem o wartościach własnych, a nie wektorach własnych.
Jeśli kontrprzykład w a) istnieje, to na pewno nie może istnieć baza złożona z wektorów własnych, czyli przykładowe macierze muszą być niediagonalizowalne.
Q.
ok, wazne, ze podpunkt 2) jak najbardziej ok wychodzi. tzn. wzialem dowolna macierz i macierz identycznosciowa i wyszlo, ze \(\displaystyle{ E(A) \neq E(B)}\)