Istnienie bazy przestrzeni

[nocnyzwierz]

Mam problem z następującym zadaniem:
Dana jest baza \(\displaystyle{ B=\left\{ v _{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} \right\}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{4}}\). Wektor \(\displaystyle{ w=\left[ 2,1,0,-1\right] _{B}}\). Czy podany wektor \(\displaystyle{ (v_{1}, w, v_{2}, v_{3})}\) stanowi bazę przestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\) ?

Prosiłbym o wytłumaczenie co i jak po kolei, kolejne przykłady których tutaj już nie podawałem postaram się rozwiązać samodzielnie. Dzięki za pomoc

[fon_nojman]

Odpowiedz brzmi NIE.

Spróbuj przedstawić wektor \(\displaystyle{ v_4}\) jako kombinację liniową \(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3,w.}\)

[nocnyzwierz]

Czy mógłbym liczyć na podpowiedź?

[fon_nojman]

Sorki za wprowadzenie w błąd, źle przeczytałem. Oczywiście \(\displaystyle{ \{v_{1}, w, v_{2}, v_{3}\}}\) też jest bazą. Wynika to z tego, że te wektory są liniowo niezależne oraz wymiar \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\) to \(\displaystyle{ 4.}\)

Liniową niezależność sprawdzamy przez wyznacznik

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\2&1&0&-1\end{vmatrix}=-1 \neq 0.}\)

[nocnyzwierz]

Czy ta macierz nie powinna wyglądać w ten sposób?
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}1&0&0&0 \\ 2&1&0&-1 \\ 0 &1&0&0 \\ 0&0&1&0\end{array}\right|}\)

[fon_nojman]

Może być tak, ale to jest wyznacznik i w tej formie co napisałem prościej się liczy, iloczyn elementów na diagonali.

[nocnyzwierz]

Póki co jeszcze nie umiem liczyć macierzy, ale czy da się zapisać liniową niezależność nie używając wyznacznika macierzy? A może to wyglądałoby tak:
\(\displaystyle{ v_{4} = \alpha v_{1} \cdot \alpha w \cdot \alpha v_{3} \cdot \alpha v_{4}}\)

[fon_nojman]

Bez wyznacznika musisz pokazać, że jeżeli dla \(\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,a_4\in \mathbb{R}}\) zachodzi

\(\displaystyle{ a_1 v_1+a_2 v_2+a_3 v_3+a_4 w=0}\)

to \(\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,a_4=0.}\)

Policzmy \(\displaystyle{ a_1 v_1+a_2 v_2+a_3 v_3+a_4 w=(a_1+2a_4) v_1+(a_2+a_4) v_2+a_3 v_3+a_4 v_4=0}\) teraz z niezależności \(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3,v_4}\) mamy

\(\displaystyle{ a_1+2a_4,a_2+a_4,a_3,a_4=0.}\)

Czyli łatwo wyliczamy, że \(\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,a_4=0.}\)

[nocnyzwierz]

Hmm mnie wychodzi tak:
\(\displaystyle{ a_1 v_1+a_2 v_2+a_3 v_3+a_4 w=a_1 v_1+a_2 v_2+a_3 v_3+a_4(2,1,0,-1)=a_1 v_1+a_2 v_2+a_3 v_3+(2a_4,a_4,0,-a_4)}\)
Gdzie popełniłem błąd? W Twoim zapisie wychodzi co innego ale nie wiem skąd wzięły się te nawiasy \(\displaystyle{ (a_1 + 2a_4)}\) lub \(\displaystyle{ (a_2 + a_4)}\)

[fon_nojman]

Wektor \(\displaystyle{ w}\) można zapisać jako \(\displaystyle{ 2v_1+v_2+0v_3-v_4}\) wynika to z tego, że \(\displaystyle{ w=\left[ 2,1,0,-1\right] _{B}.}\)

Ewentualnie możesz sobie wszystko zapisać właśnie w takiej bazie czyli

\(\displaystyle{ v_1=[1,0,0,0]_B, v_2=[0,1,0,0]_B, v_3=[0,0,1,0]_B, v_4=[0,0,0,1]_B, w=\left[ 2,1,0,-1\right] _{B},}\)

wtedy masz równanie

\(\displaystyle{ a_1 [1,0,0,0]+a_2 [0,1,0,0]+a_3 [0,0,1,0]+a_4 [ 2,1,0,-1]=0.}\)