przestrzeń liniowa

[sympatia17]

1. Wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ X= K^{n}=\left\{ x=\left( t_{1}, t_{2},\ldots, t_{n} \right): t_{i} \in K, i=1,2,\ldots,n \right\}}\) z działaniami:
\(\displaystyle{ \left( t_{1}, t_{2},\ldots, t_{n}\right) + \left( s_{1}, s_{2},\ldots, s_{n}\right) = \left( t_{1}+s_{1}, t_{2}+s_{2},\ldots, t_{n}+s_{n}\right)}\)
\(\displaystyle{ a\left( t_{1}, t_{2},\ldots, t_{n}\right) = \left( at_{1}, at_{2}, \ldots , at_{n}\right)}\)
jest przestrzenią liniową.

2. Niech \(\displaystyle{ X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}}\) będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem \(\displaystyle{ K}\). Wykaż, że wtedy ich iloczyn kartezjański:
\(\displaystyle{ X_{1} \times X_{2} \times \ldots \times X_{n}=\left\{ x=\left( x_{1}, x_{2},\ldots, x_{n} \right): x_{k} \in X_{k}, k=1,2,\ldots,n \right\}}\)
z działaniami
\(\displaystyle{ \left( x_{1}, x_{2},\ldots, x_{n}\right) + \left( y_{1}, y_{2},\ldots, y_{n}\right) = \left( x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2},\ldots, x_{n}+y_{n}\right)}\)
\(\displaystyle{ a\left( x_{1}, x_{2},\ldots, x_{n}\right) = \left( ax_{1}, ax_{2}, \ldots , ax_{n}\right)}\)
jest przestrzenią liniową.

Czy jest jakaś różnica w rozwiązywaniu tych zadań, czy rozwiązuje je się tak samo, używając jedynie innych oznaczeń?

[Adifek]

2. jest w zasadzie bardziej ogólne, ale dowód przebiega tak samo = normalnie sprawdzasz aksjomaty i wychodzi co trzeba.