Udowodnić, że ciąg jest rozwiązaniem układu.

sulaw · Post autor: **sulaw** » 15 paź 2012, o 13:24

Takie oto zadanie.
Niech ciągi \(\displaystyle{ (1,2,3,-1)}\) i \(\displaystyle{ (3,6,9,-3)}\) będą rozwiązaniami pewnego układu równań o czterech niewiadomych nad ciałem liczb rzeczywistych. Udowodnij, że ciąg \(\displaystyle{ (0,0,0,0)}\) też jest rozwiązaniem tego układu.

Proszę o pomoc. Nie wiem, jak się zadanie tego typu rozwiązuje.

smigol · Post autor: **smigol** » 15 paź 2012, o 13:51

Pierwsze dwa ciągi spełniają następujący układ równań:
\(\displaystyle{ 45-4 a+a^2-8 b+b^2-12 c+c^2+4 d+d^2=0}\), ale ciąg \(\displaystyle{ (0,0,0,0)}\) oczywiście go nie spełnia.

Pewnie chodziło o jednorodny układ równań liniowych, wtedy wystarczy pokazać, że jeśli wektory \(\displaystyle{ v,u}\) są rozwiązaniami układu równań liniowych, to \(\displaystyle{ v+u}\) też jest rozwiązaniem tego układu (co jest łatwe). Następnie coś zauważyć jakiś związek między tymi dwoma wektorami z zadania.

sulaw · Post autor: **sulaw** » 15 paź 2012, o 15:10

Suma tych wektorów to \(\displaystyle{ \left( 4,8,12,-4\right)}\) W jaki sposób udowodnić, że ten ciąg też jest rozwiązaniem układu równań.
Zależność między tymi dwoma ciągami to fakt, że ten drugi to pierwszy pomnożony przez \(\displaystyle{ 3}\). Tylko co z tego wynika?

smigol · Post autor: **smigol** » 15 paź 2012, o 15:28

Jeśli \(\displaystyle{ v}\) jest rozwiązaniem, to \(\displaystyle{ -v}\) też nim jest.

sulaw · Post autor: **sulaw** » 15 paź 2012, o 16:15

Nie rozumiem. Czy mógłbyś to bardziej rozpisać.Nie robiłem wcześniej tego typu zadań i po prostu nie ogarniam tego dobrze.-- 17 paź 2012, o 18:14 --Podbijam. Czy ktoś mógłby pomóc?