Podwójny iloczyn wektorowy
Podwójny iloczyn wektorowy
Witam. Mam problem z zadaniem:
1. Udowodnić podane własności rozkładając wektory na składowe:
\(\displaystyle{ \vec{a} \times( \vec{b} \times \vec{c} )= \vec{b} \circ (\vec{a} \circ \vec{c}) - \vec{c}\circ( \vec{a}\circ \vec{b} )}\)
Dziękuje z góry za odpowiedź. Pozdrawiam
1. Udowodnić podane własności rozkładając wektory na składowe:
\(\displaystyle{ \vec{a} \times( \vec{b} \times \vec{c} )= \vec{b} \circ (\vec{a} \circ \vec{c}) - \vec{c}\circ( \vec{a}\circ \vec{b} )}\)
Dziękuje z góry za odpowiedź. Pozdrawiam
Podwójny iloczyn wektorowy
Po lewej mamy iloczyn wektorowy, który jest wektorem, a po prawej iloczyn skalarny, który jest liczbą. A więc zadanie jest źle sformułowane.
Podwójny iloczyn wektorowy
A jeśli tam było tak zapisane \(\displaystyle{ \vec{a} \times( \vec{b} \times \vec{c} )= \vec{b} \cdot (\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c} \cdot ( \vec{a} \cdot \vec{b} )}\)
To zadanie ma sens?
To zadanie ma sens?
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Podwójny iloczyn wektorowy
Ale powinno być jasne, że chodzi o równość
\(\displaystyle{ a \times (b \times c) = (a\cdot c)b - (a \cdot b)c,}\)
albo coś w tym stylu.
\(\displaystyle{ a \times (b \times c) = (a\cdot c)b - (a \cdot b)c,}\)
albo coś w tym stylu.
Podwójny iloczyn wektorowy
Tak tylko że ja mam to rozpisać tak że \(\displaystyle{ \vec{a} = [a _{x} ,a _{y} ,a _{z}]}\) i tak dalej, i udowodnić tę równość.
Podwójny iloczyn wektorowy
Witam!
Podpinam się do tematu ponieważ dostałem na okres świąteczny zadanie domowe aby wykazać dokładnie to samo co o czym pisze autor.
Jest nawet o tym w internecie. To jest wzór Lagrange`a.
Iloczyn wektorowy: Wzór Lagrange'a
I to jest wykonalne.
Natomiast na wikipedii to jest napisane ale te ich obliczenia biorą się z nieba. Przynajmniej dla mnie są wogóle nie zrozumiałe.
Ja umiem mnożyć wektorowo tylko la plasem z wyznacznika. Ale co bym nie robił to nie chce mi wyjść to co im.
Błagam, pomóżcie dobrzy ludzie.
Wytłumaczcie krok po kroczku co i jak powinno się robić.
Podpinam się do tematu ponieważ dostałem na okres świąteczny zadanie domowe aby wykazać dokładnie to samo co o czym pisze autor.
Jest nawet o tym w internecie. To jest wzór Lagrange`a.
Kod: Zaznacz cały
pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyn_wektorowy#Wz.C3.B3r_Lagrange.27a
I to jest wykonalne.
Natomiast na wikipedii to jest napisane ale te ich obliczenia biorą się z nieba. Przynajmniej dla mnie są wogóle nie zrozumiałe.
Ja umiem mnożyć wektorowo tylko la plasem z wyznacznika. Ale co bym nie robił to nie chce mi wyjść to co im.
Błagam, pomóżcie dobrzy ludzie.
Wytłumaczcie krok po kroczku co i jak powinno się robić.
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 28 cze 2022, o 09:11
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 60
Re: Podwójny iloczyn wektorowy
Zadanie to ma sens. Wspomniany zapis jest po obu stronach wektorem. Zarówno
\(\displaystyle{ \vec{a} \times ( \vec{b} \times \vec{c}) }\)
jak i
\(\displaystyle{ \vec{b} \cdot ( \vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c} \cdot ( \vec{a} \cdot \vec{b})}\)
są wektorami.
Drugie równanie to różnica dwóch wektorów przemnożonych przez liczby będące iloczynami skalarnymi.
Dowód w oparciu o współrzędne jest dość długi rachunkowo, choć niezbyt trudny.
Wektor \(\displaystyle{ ( \vec{b} \times \vec{c} )}\)
można przedstawić jako
\(\displaystyle{ [ b_{2}c_{3}- b_{3}c_{2}, -b_{1}c_{3}+ b_{3}c_{1}, b_{1}c_{2}- b_{2}c_{1}].
}\)Teraz wystarczy skorzystać z wyznacznikowej definicji iloczynu wektorowego i po nieco przydługich rachunkach otrzymamy dowód.
Powodzenia
\(\displaystyle{ \vec{a} \times ( \vec{b} \times \vec{c}) }\)
jak i
\(\displaystyle{ \vec{b} \cdot ( \vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c} \cdot ( \vec{a} \cdot \vec{b})}\)
są wektorami.
Drugie równanie to różnica dwóch wektorów przemnożonych przez liczby będące iloczynami skalarnymi.
Dowód w oparciu o współrzędne jest dość długi rachunkowo, choć niezbyt trudny.
Wektor \(\displaystyle{ ( \vec{b} \times \vec{c} )}\)
można przedstawić jako
\(\displaystyle{ [ b_{2}c_{3}- b_{3}c_{2}, -b_{1}c_{3}+ b_{3}c_{1}, b_{1}c_{2}- b_{2}c_{1}].
}\)Teraz wystarczy skorzystać z wyznacznikowej definicji iloczynu wektorowego i po nieco przydługich rachunkach otrzymamy dowód.
Powodzenia
-
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Podwójny iloczyn wektorowy
Wiadomo, o co chodzi, ale powyższy zapis jest jednak niedobry, bo używa w jednym wzorze tego samego symbolu w dwóch różnych znaczeniach. I dlatego powinno być \(\displaystyle{ \vec{b} \cdot ( \vec{a} \circ \vec{c}) - \vec{c} \cdot ( \vec{a} \circ \vec{b})}\) (albo \(\displaystyle{ \vec{b} ( \vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c} ( \vec{a} \cdot \vec{b})}\)).MaCheFi_60 pisze: ↑28 cze 2022, o 09:28jak i
\(\displaystyle{ \vec{b} \cdot ( \vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c} \cdot ( \vec{a} \cdot \vec{b})}\)
są wektorami.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 28 cze 2022, o 09:11
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 60
Re: Podwójny iloczyn wektorowy
Zgadza się, to było nieprecyzyjne. Dodam jeszcze tylko, że prawdopodobne źródło niepowodzeń obliczeniowych wynika z faktu, że podwójny iloczyn wektorowy nie jest łączny a wynik \(\displaystyle{ (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} }\) jest inny niż \(\displaystyle{ \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) }\).
Mówiąc dokładniej możemy podać, że obowiązują wzory:
\(\displaystyle{
(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{b} \cdot ( \vec{a} \circ \vec{c}) - \vec{a} \cdot ( \vec{b} \circ \vec{c})
}\)
oraz
\(\displaystyle{ \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \cdot ( \vec{a} \circ \vec{c}) - \vec{c} \cdot ( \vec{a} \circ \vec{b})
}\)
Mówiąc dokładniej możemy podać, że obowiązują wzory:
\(\displaystyle{
(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{b} \cdot ( \vec{a} \circ \vec{c}) - \vec{a} \cdot ( \vec{b} \circ \vec{c})
}\)
oraz
\(\displaystyle{ \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \cdot ( \vec{a} \circ \vec{c}) - \vec{c} \cdot ( \vec{a} \circ \vec{b})
}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Podwójny iloczyn wektorowy
Geometryczny dowód podwójnego iloczynu wektorowego znajduje się w przystępnie napisanej książce Śp. Pana Prof. Edmunda Karaśkiewicza ZARYS TEORII WEKTORÓW I TENSORÓW. PWN WARSZAWA 1976.
Gdzie znajduje zastosowanie podwójny iloczyn wektorowy ?
Gdzie znajduje zastosowanie podwójny iloczyn wektorowy ?
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 28 cze 2022, o 09:11
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 60
Re: Podwójny iloczyn wektorowy
Ja spotkałem się z użyciem podwójnego iloczynu wektorowego w optyce, w wyprowadzeniu uzasadnienia zjawiska dwójłomności kryształów.