Ciała, el. Gaussa, Macierze i przestrzenie liniowe

[steffan]

1) Oblicz w \(\displaystyle{ Z_{7}}\)
\(\displaystyle{ \left( 4 ^{ -1} \cdot 5+3 \right) \cdot 3 ^{-1}+1=\\
\left( \frac{1}{4} \cdot 5+3 \right) \cdot \frac{1}{3} +1=\\
\frac{17}{4} \cdot \frac{1}{3} +1=2 \frac{5}{12}}\)
Do tego zadania mam pytanie, czy będąc w ciele \(\displaystyle{ Z _{7}}\) możliwe są tu operacje na ułamkach takich jak np \(\displaystyle{ \frac{17}{4}}\)? Czy licznik i mianownik powinien tutaj także być ograniczony do liczb od 0 do 6 ?

2) Oblicz metodą eliminacji Gaussa:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 9x _{1}+3x _{2}-2x _{4}=11 \\2x _{1}+4x _{4}=3 \end{cases}
\begin{cases} x _{1}-6x _{4}=-1 \\2x _{1}+x _{4}=3 \end{cases}
\begin{cases} x _{1}-6x _{4}=-1 \\13x _{4}=5 \end{cases}
\begin{cases} x _{1}-6x _{4}=-1 \\x _{4}= \frac{5}{13} \end{cases}
\begin{cases} x _{1}= \frac{5}{13} \\x _{4}= 1\frac{4}{13} \end{cases}}\)

3) Czy w\(\displaystyle{ LR ^{3}}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left[ 1,6,3 \right] \in lin \left( \left[ 1,2,1 \right] , \left[ 1,1,1 \right] , \left[ 1,0,0 \right] \right)}\) ?
\(\displaystyle{ x_1 \left( 1,1,1 \right) +x_2 \left( 2,0,0 \right) +x_3 \left( 1,1,0 \right) = \left( 1,6,3 \right)

\begin{cases} x_1+2 x_2+x_3=0 \\ x_1+x_3=0\\x_1=0 \end{cases}

\begin{tabular}{cccc}
1 & 2 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{tabular} \rightarrow
\begin{tabular}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
\end{tabular} \rightarrow
\begin{tabular}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{tabular}}\)
\(\displaystyle{ x_1=1, x_2=2, x_3=1 ; \Rightarrow}\) układ zależny, więc nie\(\displaystyle{ \left[ 1,6,3 \right]}\) nie należy do lin

Z góry dziękuje za pomoc :]

[smigol]

\(\displaystyle{ 4^{-1} \neq \frac{1}{4}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z} _7}\) chociażby z tego powodu, że \(\displaystyle{ \frac{1}{4} \notin \mathbb{Z} _7}\)

[steffan]

Czy mógłbyś w takim razie przesłać mi jakieś materiały dotyczące arytmetyki w np \(\displaystyle{ Z_{7}}\) ?

[smigol]

Poczytaj o rozszerzonym algorytmie Euklidesa, przy jego pomocy możesz znaleźć element odwrotny w \(\displaystyle{ \mathbb{Z} _p}\).

[steffan]

Ok dzięki, jeśli będziesz miał czas, to przypatrz się proszę też pozostałym zadaniom i jeśli znajdziesz błąd, daj znać gdzie.
Dzięki raz jeszcze. Pozdrawiam !

[smigol]

Zadanie drugie jest źle rozwiązane. Nawet nie patrząc na rachunki można to stwierdzić. Układ dwóch równań liniowych z trzema niewiadomymi może albo nie mieć rozwiązań, albo mieć ich nieskończenie wiele. Błąd się pojawia już przy przejściu z jednego układu do drugiego.

Zadanie trzecie jest źle rozwiązane. Idea jest słuszna, to znaczy trzeba sprawdzić, czy wektor \(\displaystyle{ [1,6,3]}\) jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ [1,2,1],[1,1,1],[1,0,0]}\). Po co wziąłeś wektory \(\displaystyle{ [2,0,0]}\) i \(\displaystyle{ [1,1,0]}\) to ja nie wiem. Niby \(\displaystyle{ lin([1,2,1],[1,1,1],[1,0,0])=lin([1,1,1], [2,0,0], [1,1,0])}\) (tak na oko), ale łatwiej od razu napisać, że \(\displaystyle{ [1,6,3] \in lin([1,2,1],[1,1,1],[1,0,0]) \Leftrightarrow \exists _{a,b,c \in \mathbb{R}} [1,6,3] = a[1,2,1]+b[1,1,1]+c[1,0,0]}\). Układ równań, który zapisałeś też ma się nijak do tego co jest linijkę wyżej, tj. \(\displaystyle{ x_1(1,1,1)+x_2(2,0,0)+x_3(1,1,0)=(1,6,3)}\).

[steffan]

Ok, wróćmy w takim razie do zadania pierwszego- czy dobrze to zrozumiałem: ?
\(\displaystyle{ (4 ^{-1}*5+3)*3 ^{-1}+1=\\
=(2*5+3)*5+1=\\
=(3+3)*5+1=\\
=6*5+1=\\
=2+1=\\
=3}\)

[smigol]

Dobrze.

[steffan]

Jescze odnośnie zadania 3: czy w LR3 zachodzi \(\displaystyle{ [1,6,3] \in lin([1,2,1],[1,0,1],[1,0,0]) ?}\)
*Poprawiona treść- poprzednio coś źle przepisałem.
rozw:
\(\displaystyle{ [1,6,3]=x_1 [1,2,1] + x_2 [1,0,1] + x_3[1,0,0]}\)
Zapisze to jako rownanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+x_2+x_3=1 \\ 2x_1=6\\x_1+x_2=3 \end{cases}}\)
Z tego otrzymujemy:\(\displaystyle{ x_1=3, x_2=0, x_3=-2}\). A więc odpowiedź: Tak- w LR3 zachodzi owa przynależność.

[smigol]

Poprawnie.