iloczyn skalarny

[Oranger]

Pytanie jest związane z iloczynem zkalarnym i z tym że \(\displaystyle{ \left\langle A,B\right\rangle=Tr(AB)}\) może być takim iloczynem.
gdzie \(\displaystyle{ A}\) to macierz \(\displaystyle{ n\times n}\)
nie rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ Tr(AA) \ge 0}\) , bo to jest jeden z wymogów aby był to iloczyn skalarny
Przecież biorąc macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
0&-1\\
1&0
\end{bmatrix}}\)
i wymnażając ją z taką samą macierzą, otrzymamy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
-1&0\\
0&-1
\end{bmatrix}}\)
Więc \(\displaystyle{ Tr=-2}\)

[Spektralny]

Masz błędną definicję:

\(\displaystyle{ \langle A, B\rangle = \mbox{tr}(B^*A)}\),

gdzie \(\displaystyle{ B^*}\) sprzężenie hermitowskie macierzy \(\displaystyle{ B}\); \(\displaystyle{ A^*A}\) jest zawsze macierzą dodatnią.