Witam.
Prosiłbym o sprawdzenie czy dobrze rozwiązałem.
Mam stwierdzić czy przekształcenia są liniowe:
a)
\(\displaystyle{ S : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, (x,y) \mapsto (\cos{x}+\sin{x},x-2y)}\)
Nie jest, bo przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \vec{0}}\) powinno dać \(\displaystyle{ \vec{0}}\) a tutaj dostalibyśmy \(\displaystyle{ (1,0)}\)
b)
\(\displaystyle{ T : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}, (x,y,z) \mapsto x^2 + y + zx}\)
Nie jest bo \(\displaystyle{ T(a\cdot \vec{v}) \ne a\cdot T(\vec{v})}\)(a powinno) czyli:
\(\displaystyle{ \vec{v}=(a,b,c)}\)
\(\displaystyle{ a\cdot T(\vec{v})=ax^2+ay+azx}\)
\(\displaystyle{ T(a\cdot \vec{v}) = ax^2+ay+a^2zx}\)
c)
\(\displaystyle{ D : \mathbb{P}_3 \rightarrow \mathbb{P}_3, f \mapsto f'}\) Gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{P}_3}\) zawiera wielomiany stopnia \(\displaystyle{ \le 3}\) a \(\displaystyle{ f'}\) jest pochodną \(\displaystyle{ f}\)
Jakoś tak na wyczucie wydaje mi się, że jest, bo:
Pochodną wielomianu będzie wielomian o stopień niższy, czyli zmieści się w \(\displaystyle{ \mathbb{P}_3}\), tak?
Wydaje mi się, że \(\displaystyle{ f'}\) spełnia obydwa warunki, żeby być liniowe:
\(\displaystyle{ T(a\cdot \vec{v}) = a\cdot T(\vec{v})}\) oraz \(\displaystyle{ T(\vec{v}+\vec{w}) = T(\vec{v})+T(\vec{w})}\)
Ma to sens?
Dzięki, pozdrawiam.
Czy przekształcenie jest liniowe.
-
szw1710
Czy przekształcenie jest liniowe.
Wszystko OK.
Wyjaśnię Ci liniowość operatora pochodnej w prostych słowach. Chodzi o to, że pochodna sumy jest sumą pochodnych (addytywność operatora pochodnej) oraz liczbę stałą można wyciągać przed znak pochodnej (jednorodność). Na wzorach wygląda to tak:
\(\displaystyle{ (f+g)'=f'+g'\,\quad\text{czyli }T(f+g)=T(f)+T(g)}\)
\(\displaystyle{ (\alpha\cdot f)'=\alpha\cdot f'\quad\text{dla}\alpha\in\RR\quad\text{czyli}T(\alpha f)=\alpha zT(f).}\)
Argumentacja do pozostałych odwzorowań jest poprawna.
Pytanie kontrolne: niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią ciągów zbieżnych o wyrazach rzeczywistych. \(\displaystyle{ X}\) ze zwykłymi działaniami jest przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ \RR.}\) Czy operator brania granicy ciągu jest liniowy? Zdefiniuj ten operator (gdzie on działa?) i odpowiedz na pytanie.
I drugie ćwiczenie: na rzeczywistej przestrzeni wszystkich ciągów liczbowych mamy taki operator
\(\displaystyle{ T\left((a_1,a_2,a_3,\dots)\right)=(a_2,a_3,a_4,\dots)}\)
Jakie są dziedzina i zbiór wartości naszego operatora i czy jest on liniowy?
Wyjaśnię Ci liniowość operatora pochodnej w prostych słowach. Chodzi o to, że pochodna sumy jest sumą pochodnych (addytywność operatora pochodnej) oraz liczbę stałą można wyciągać przed znak pochodnej (jednorodność). Na wzorach wygląda to tak:
\(\displaystyle{ (f+g)'=f'+g'\,\quad\text{czyli }T(f+g)=T(f)+T(g)}\)
\(\displaystyle{ (\alpha\cdot f)'=\alpha\cdot f'\quad\text{dla}\alpha\in\RR\quad\text{czyli}T(\alpha f)=\alpha zT(f).}\)
Argumentacja do pozostałych odwzorowań jest poprawna.
Pytanie kontrolne: niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią ciągów zbieżnych o wyrazach rzeczywistych. \(\displaystyle{ X}\) ze zwykłymi działaniami jest przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ \RR.}\) Czy operator brania granicy ciągu jest liniowy? Zdefiniuj ten operator (gdzie on działa?) i odpowiedz na pytanie.
I drugie ćwiczenie: na rzeczywistej przestrzeni wszystkich ciągów liczbowych mamy taki operator
\(\displaystyle{ T\left((a_1,a_2,a_3,\dots)\right)=(a_2,a_3,a_4,\dots)}\)
Jakie są dziedzina i zbiór wartości naszego operatora i czy jest on liniowy?