Macierz odwzorowania liniowego-wielomiany

[Nesquik]

Obrazami wielomianów \(\displaystyle{ w_{1}=x^2+1}\),\(\displaystyle{ w_{2}=x+1}\),\(\displaystyle{ w_{3}=x^2+x}\)
poprzez odwzorowanie \(\displaystyle{ f: R_{[x]2}--> R_{[x]2}}\) są odpowiednio wielomiany \(\displaystyle{ u_{1}=x^2+3x+2}\),\(\displaystyle{ u_{2}=2x^2+2x}\),\(\displaystyle{ u_{3}=2x^2+2x+2}\)
Znaleźć macierz odwzorowania f w bazie \(\displaystyle{ B=( w_{1}, w_{2}, w_{3})}\)
a następnie korzystając z tej macierzy wyznaczyć \(\displaystyle{ f^{-1}(6x^2+2)}\)

Czyli wiem że\(\displaystyle{ f( w_{1})= u_{1}=x^2+3x+2}\) i tak samo z kolejnymi,ale co dalej?

[scyth]

Przedstaw obrazy wektorów \(\displaystyle{ w}\) w bazie \(\displaystyle{ u}\) i w ten sposób dostaniesz kolumny macierzy odwzorowania liniowego.

[Marcin_92]

To ja zaproponuję rozwiązanie.
Wielomiany \(\displaystyle{ w_{1},w_{2},w_{3}}\) stanowią bazę.
Czyli szukasz współrzędnych wektorów \(\displaystyle{ u_{1},u_{2},u_{3}}\) w tej bazie. Macierzą odwzorowania będzie macierz, której kolumny stanowią wyliczone przez Ciebie współrzędne. Przyjmijmy, że macierz tą oznaczymy jako \(\displaystyle{ A}\).
Następnie macierz odwrotna do macierzy \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą \(\displaystyle{ f^{-1}}\). Potem trzeba wyznaczyć współrzędne \(\displaystyle{ w(x)}\) w bazie \(\displaystyle{ B}\). Teraz trzeba wymnożyć macierz \(\displaystyle{ A^{-1}}\) przez macierz współrzędnych wektora \(\displaystyle{ u_{1}}\) w bazie \(\displaystyle{ B}\). W wyniku tego działania otrzymasz współrzędne \(\displaystyle{ f^{-1}(w)}\) w bazie \(\displaystyle{ B}\). Wyznaczone współrzędne zadać na wektorach bazowych i powinnaś otrzymać szukany wielomian (zwróć uwagę na to, że wynik ma być właśnie wielomianem!).
W moich obliczeniach żądany wynik to \(\displaystyle{ x^{2}+ \frac{9}{2}x- \frac{5}{2}}\)

[Nesquik]

dzięki wielkie za pomoc;) a mam jeszcze taką jedną prośbę;) znam definicję macierzy odwzorowania liniowego i jeżeli mam dwie bazy to kolumnami są współrzędne obrazu wektorów z pierwszej bazy wyrazone za pomocą wektorów z bazy drugiej,a w tym zadaniu mam rozumieć ze baza pierwsza jest równa bazie drugiej? i są to te wektory \(\displaystyle{ w1,w2,w3}\) .Nie robiłam nigdy takich zadań na wielomianach tylko zawsze na bazach liczbowych i teraz nie mogę się połapac.
chyba ze coś pomieszałam.

[scyth]

A bo ja zrozumiałem, że masz w dziedzinie bazę \(\displaystyle{ w}\) a w obrazie bazę \(\displaystyle{ u}\). Tutaj te wektory \(\displaystyle{ u}\) przedstaw jako kombinacje liniowe \(\displaystyle{ w}\) i będziesz miała przekształcenie w bazach \(\displaystyle{ B}\).