wektory własne

[Nesquik]

Sprawdzić czy jest endomorfizm jest diagonalizowalny:
\(\displaystyle{ R^3-->R^3}\)
macierz tego endomorizmu ,to
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&-2&2\\2&0&2\\-1&1&1\end{array}\right]}\)
wartości własne:
\(\displaystyle{ 1 \wedge -2}\)gdzie \(\displaystyle{ -2}\)jest dwukrotne,
jak podstawiam \(\displaystyle{ -2}\) w macierzy gdzie na przekątnej mam lambda wychodzi mi wektor \(\displaystyle{ (-2,-5,1)}\) wtedy wynika ze endomorfizm nie jest diagonalizowalny bo nie mamy jeden wektor a krotność dwa,ale prosze o sprawdzenie tego wektora bo troche się gubie jak je wyznaczam i nie do końca wiem czy mam go dobrze.

I tak samo prosze o sprawdzenie czy tu
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&3&0\\0&1&-1\\0&0&-5\end{array}\right]}\)
wektor to \(\displaystyle{ (1,0,0)}\)

[norwimaj]

Na oko widać, że wektory własne odpowiadające wartości \(\displaystyle{ 2}\) tworzą podprzestrzeń \(\displaystyle{ \mathrm{lin}\{(1,1,0),(0,1,1)\}}\).

W drugim masz rację, że w pierwszej kolumnie stoją same zera.

[Nesquik]

i w tym drugim ten wektor jest dobry,tak?-- 17 wrz 2012, o 20:54 --a w pierwszym jest \(\displaystyle{ -2}\) nie \(\displaystyle{ 2}\),mógłbys mi napisac jak policzyc te wektory w pierwszym?

[norwimaj]

i w tym drugim ten wektor jest dobry,tak?

Tak. W pierwszej kolumnie stoi obraz pierwszego wektora z bazy standardowej, czyli \(\displaystyle{ (1,0,0)}\) przechodzi na \(\displaystyle{ (0,0,0)=0\cdot(1,0,0)}\).

a w pierwszym jest \(\displaystyle{ -2}\) nie \(\displaystyle{ 2}\)

Suma wartości własnych jest równa sumie liczb na przekątnej, czyli \(\displaystyle{ 5}\).

mógłbys mi napisac jak policzyc te wektory w pierwszym?

Jeśli od przekątnej macierzy odejmiemy \(\displaystyle{ 2}\) to dostajemy macierz

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&-2&2\\2&-2&2\\-1&1&-1\end{array}\right].}\)

Widać że pierwsze dwie kolumny w sumie dają zero, więc \(\displaystyle{ (1,1,0)}\) jest wektorem własnym. Podobnie zauważamy wektor własny \(\displaystyle{ (0,1,1)}\). To daje już dwuwymiarową przestrzeń własną. Więcej być nie może, bo powyższa macierz nie jest cała zerowa.

[Nesquik]

Dzięki:)nigdy na te wektory nie patrzyłam w ten sposób tylko liczyłam,a potem jak widac wychodzą błędy i zapomina się o takich rzeczach jak np ta suma cyfr na przekątnej.