Znajdź odwzorowanie liniowe

[Nesquik]

Mam takie dane:
\(\displaystyle{ Ker f =lin\left\{ (1,1,0),(-1,1,0)\right\}}\)
\(\displaystyle{ IM f =lin\left\{ (2,1,1)\right\}}\)

wiem na pewno,że \(\displaystyle{ f(1,1,0)=f(-1,1,0)=0}\) sa liniowo niezależne wiec ich wymiar do 2,
oraz moge przyjąć bazy standardowe,
co dalej?

[scyth]

Macierz odwzorowania to:
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}}\)
Stąd dostajemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a + b=0 \\ d + e = 0 \\ g + h = 0 \\ - a + b=0 \\ - d + e = 0 \\ - g + h = 0 \end{cases}
\\ \Rightarrow a=b=d=e=g=h=0 \\
A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & f \\ 0 & 0 & i \end{bmatrix}}\)
Ponieważ możesz przyjąć bazy standardowe i masz bazę obrazu, to:
\(\displaystyle{ f([0,0,1])=(c,f,i)= (2,1,1) \\
\Rightarrow A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}\)

[Nesquik]

W ramach upewnienia, ten układ równań wynika z tego że podane w danych dwa wektory należą do jądra?

[scyth]

Tak, zatem ich obrazem jest wektor \(\displaystyle{ (0,0,0)}\).

[Nesquik]

Tak jest;)
próbuję zrobić teraz podobne zadanie:
mam odwzorowanie
\(\displaystyle{ f:R^2-->R^3}\)
\(\displaystyle{ ker f=(1,0)}\)
\(\displaystyle{ Im f=(3,2,1)}\)

to będę miec macierz 2x3 :
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix}}\)?

[scyth]

Prawie, transponuj i będzie OK.

[Nesquik]

Okej;) Dzięki za pomoc;)