Wektory liniowo niezależne

[tyagaraja]

cześć, mam zadanie:
Zbadać liniową zależność wektorów \(\displaystyle{ v _{1}=[2,1,-3,0]}\), \(\displaystyle{ v _{2} =[-1,0,1,2]}\), \(\displaystyle{ v _{3}=[1,2,-3,6]}\). Czy wektor \(\displaystyle{ u=[0,-1,1,-4]}\) należy do przestrzeni rozpinanej przez te wektory?

Zaczynam od policzenia rzędu macierzy zbudowanej z trzech podanych wektorów (wektor=wiersz). rz=2, ergo wektory nie są liniowo niezależne.

dalej zapisuję macierz, gdzie wektor=kolumna i wektor u to kolumna wyników. rozwiązuję równanie i wychodzi \(\displaystyle{ x _{3} =t}\), \(\displaystyle{ x _{2}=-2-3t}\), \(\displaystyle{ x _{1} =3+6t}\)

oznacza to, że wektor należy do przestrzeni?

[octahedron]

Nie bardzo rozumiem, jak sprawdzasz, czy \(\displaystyle{ u}\) należy do przestrzeni, ale można sprawdzić niezależność:
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}2&1&-3&0\\-1&0&1&2\\0&-1&1&-4\end{vmatrix} \Rightarrow w_1+2w_2 \Rightarrow \begin{vmatrix}0&1&-1&4\\-1&0&1&2\\0&-1&1&-4\end{vmatrix}\Rightarrow w_3+w_1 \Rightarrow \begin{vmatrix}0&1&-1&4\\-1&0&1&2\\0&0&0&0\end{vmatrix}}\)
zatem \(\displaystyle{ u}\) należy do przestrzeni