Hej,
mam podaną macierz 4x4 \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}3&0&-4&0\\0&-1&0&0\\1&0&-1&0\\0&0&0&1 \end{array}\right]}\)
mam znaleźć jej wartości własne i wektory własne. Liczę zatem wyznacznik det(A-xI), wykreślam ostatni wiersz i ostatnią kolumnę, otrzymuję \(\displaystyle{ det(A-xI)=(1-x)(-1) ^{8} \left|\begin{array}{ccc}3-x&0&-4\\0&-1-x&0\\1&0&-1-x\end{array}\right|}\)
Liczę wyznacznik 3x3 z Sarusa, otrzymuję \(\displaystyle{ (1-x)(3-x)(-1-x)(-1-x)-(-4)(-1-x)}\), co muszę przyrównać do 0. I teraz pytanie, jak to policzyć? pytanie na poziomie gimnazjum, wiem, ale mam to wszystko wymnożyć, uporządkować? strasznie dużo roboty, zawsze się gubię w takich operacjach. da się to zrobić inaczej? albo jest tu jakiś błąd.
czy mogę jeszcze wykreślić środkowy wiersz i kolumnę?
Znaleźć wszystkie własności i wektory własne macierzy
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Znaleźć wszystkie własności i wektory własne macierzy
Widać, że tutaj \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\) rozbite jest na trzy podprzestrzenie niezmiennicze: \(\displaystyle{ \mbox{lin}\{e_1,e_3\}}\), \(\displaystyle{ \mbox{lin}\{e_2\}}\), \(\displaystyle{ \mbox{lin}\{e_4\}}\). Macierze przekształcenia w tych podprzestrzeniach to \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}3&-4\\1&-1\end{array}\right], [-1],[1]}\). Wystarczy dla nich znaleźć wartości własne.
Chyba że wolisz tak nie robić, to po prostu zauważ, że \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 1}\) są wartościami własnymi i tak porządkuj wielomian charakterystyczny, żeby wyłączyć \(\displaystyle{ (x+1)(x-1)}\).-- 15 wrz 2012, o 14:45 --Masz błąd, bo \(\displaystyle{ (1-x)}\) ma być mnożone przez wszystko a nie tylko przez pierwszy składnik.
Chyba że wolisz tak nie robić, to po prostu zauważ, że \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 1}\) są wartościami własnymi i tak porządkuj wielomian charakterystyczny, żeby wyłączyć \(\displaystyle{ (x+1)(x-1)}\).-- 15 wrz 2012, o 14:45 --Masz błąd, bo \(\displaystyle{ (1-x)}\) ma być mnożone przez wszystko a nie tylko przez pierwszy składnik.
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 18 gru 2010, o 18:10
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
Znaleźć wszystkie własności i wektory własne macierzy
zauważyłam błąd po napisaniu posta, dzięki.
Twój sposób podejrzewam byłby bardzo prosty, gdybym w ogóle cokolwiek rozumiała z tego. algebra liniowa niestety nie mieści mi się w głowie i chciałabym wkomponować rozwiązanie w jakiś schemat, którego się mogę nauczyć przez rozwiązywanie tą samą metodą wielu przykładów.
Twój sposób podejrzewam byłby bardzo prosty, gdybym w ogóle cokolwiek rozumiała z tego. algebra liniowa niestety nie mieści mi się w głowie i chciałabym wkomponować rozwiązanie w jakiś schemat, którego się mogę nauczyć przez rozwiązywanie tą samą metodą wielu przykładów.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Znaleźć wszystkie własności i wektory własne macierzy
Tu nie trzeba wcale dużo wiedzy, żeby nie trzeba było liczyć wielomianu charakterystycznego. Wystarczy wiedzieć, że w kolumnach macierzy są obrazy wektorów z bazy. Czyli obrazem wektora \(\displaystyle{ e_2=(0,1,0,0)}\) jest druga kolumna, czyli \(\displaystyle{ (0,-1,0,0)}\). Widać więc, że \(\displaystyle{ (0,1,0,0)}\) jest wektorem własnym o wartości \(\displaystyle{ -1}\). Podobnie możesz znaleźć jeszcze jeden wektor własny, a później już jest prosto.