Na przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}_3 \left[ \cdot \right]}\) wprowadzamy iloczyn skalarny zadany wzorem:
\(\displaystyle{ \left( v|w \right) =\int_{-1}^{1}v \left( t \right) w \left( t \right) dt}\)
Znaleźć rzut prostopadły wektora \(\displaystyle{ u \left( t \right) =t^3}\) na podprzestrzeń \(\displaystyle{ W\subset \mathbb{R}_{3} \left[ \cdot \right]}\), gdzie:
\(\displaystyle{ W=\{w\in \mathbb{R}_{3} \left[ \cdot \right] :w \left( 0 \right) =0=w \left( 1 \right) \}}\)
Nie jestem pewien jak to dokładnie zrobić, proszę o pomoc.
Rzut prostopadły
Rzut prostopadły
To jeszcze pewna sprawa dla pewności. Policzyłem to następująco:
Najpierw sprawdziłem warunki dla \(\displaystyle{ w \in W}\) i wyszło mi, że
\(\displaystyle{ w(0)=d=0}\)
\(\displaystyle{ w(1)=a+b+c+d=0}\)
czyli \(\displaystyle{ w \in W}\) ma postać:
\(\displaystyle{ w(t)=at^3+bt^2-(a+b)t}\)
No to z ogólnej postaci szukam taki wektor, który by zerował iloczyn skalarny dla u:
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}t^3(at^3+bt^2-(a+b)t)dt=0}\)
Z tego wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{2}{7}a-\frac{2}{5}(a+b)=0}\)
Czyli
\(\displaystyle{ b=-\frac{2}{7}a}\)
W ostateczności otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ w(t)=at^3-\frac{2}{7}at^2-\frac{5}{7}at}\)
Jednak tutaj mam pytanie właśnie. Rzut wektora na podprzestrzeń powinien być konkretnym wektorem. Jednak z dowolności a mamy całą rodzinę wektorów. Co jest nie tak? Zrobiłem coś źle?
Najpierw sprawdziłem warunki dla \(\displaystyle{ w \in W}\) i wyszło mi, że
\(\displaystyle{ w(0)=d=0}\)
\(\displaystyle{ w(1)=a+b+c+d=0}\)
czyli \(\displaystyle{ w \in W}\) ma postać:
\(\displaystyle{ w(t)=at^3+bt^2-(a+b)t}\)
No to z ogólnej postaci szukam taki wektor, który by zerował iloczyn skalarny dla u:
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}t^3(at^3+bt^2-(a+b)t)dt=0}\)
Z tego wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{2}{7}a-\frac{2}{5}(a+b)=0}\)
Czyli
\(\displaystyle{ b=-\frac{2}{7}a}\)
W ostateczności otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ w(t)=at^3-\frac{2}{7}at^2-\frac{5}{7}at}\)
Jednak tutaj mam pytanie właśnie. Rzut wektora na podprzestrzeń powinien być konkretnym wektorem. Jednak z dowolności a mamy całą rodzinę wektorów. Co jest nie tak? Zrobiłem coś źle?
Rzut prostopadły
Coś nadal mnie niepokoi. Z tego co gdzieś znalazłem to wzór na rzut wektora na podprzestrzeń przedstawia się następująco:
\(\displaystyle{ P_{E}(v)=\sum_{i=1}^{n}\frac{(v|e_i)}{(e_i|e_i)}e_i}\)
E to podprzestrzeń, a (e) to baza.
Czy na pewno jest tak, że \(\displaystyle{ (P_{E}(v)|v)=0}\)?
Mógłbym wykorzystać podany wzór, ale musiałbym wiedzieć jaka jest baza podprzestrzeni W. Ja mam tylko podany wzór ogólny na wektor z W, ale to nie wystarcza mi do posłużenia się podanym wzorem.
\(\displaystyle{ P_{E}(v)=\sum_{i=1}^{n}\frac{(v|e_i)}{(e_i|e_i)}e_i}\)
E to podprzestrzeń, a (e) to baza.
Czy na pewno jest tak, że \(\displaystyle{ (P_{E}(v)|v)=0}\)?
Mógłbym wykorzystać podany wzór, ale musiałbym wiedzieć jaka jest baza podprzestrzeni W. Ja mam tylko podany wzór ogólny na wektor z W, ale to nie wystarcza mi do posłużenia się podanym wzorem.
-
scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Rzut prostopadły
Tak, masz rację. też to dziś rano przemyślałem, że sama prostopadłość to przecież jest za mało. Korzystając z tego wzoru wybierz sobie dowolną bazę dla podprzestrzeni \(\displaystyle{ W}\), np. \(\displaystyle{ \vec{u} = t^3-t, \ \vec{v} = t^2-t}\).
Rzut prostopadły
Zrozumiałem jak to zrobić. Jeśli mamy wielomian z W w ogólnej postaci:
\(\displaystyle{ w(t)=at^3+bt^2-(a+b)t}\)
To możemy ten wielomian przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ w(t)=a(t^3-t)+b(t^2-t)}\)
Więc bazę stanowią wektory \(\displaystyle{ (t^3-t, t^2-t)}\)
Wystarczy je podstawić do powyższego wzoru i gotowe.
\(\displaystyle{ w(t)=at^3+bt^2-(a+b)t}\)
To możemy ten wielomian przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ w(t)=a(t^3-t)+b(t^2-t)}\)
Więc bazę stanowią wektory \(\displaystyle{ (t^3-t, t^2-t)}\)
Wystarczy je podstawić do powyższego wzoru i gotowe.