Postać kanoniczna formy kwadratowej a wartości własne

[forgottenhopes]

Mam podaną formę kwadratową \(\displaystyle{ g(x) = x_1^2 - x_2^2 + x_3^2 +4x_1x_3}\)
Wyznaczyłam wartości własne macierzy tej formy kwadratowej
\(\displaystyle{ \lambda _{1}=-1}\) o krotności 2
oraz \(\displaystyle{ \lambda _{2}=3}\) o krotności 1.
Sprowadzam formę \(\displaystyle{ g(x)}\) do postaci kanonicznej metodą Lagrange'a. Więc
\(\displaystyle{ g(x)=(x _{1}+2x _{3})^{2} - x _{2}^{2} -3x _{3} ^2 }}\)
Stosuję podstawienie:
\(\displaystyle{ y _{1}=x _{1} +2x _{3}}\)
\(\displaystyle{ y _{2}= x ^{2}}\)
\(\displaystyle{ y _{3}=x _{3}}\)
czyli \(\displaystyle{ g(x)=y _{1}^{2}-y _{2}^{2}-3y _{3}^2}\)
I tu moje pytanie - czy aby ta forma kanoniczna nie powinna mieć postaci
\(\displaystyle{ g(x)=\lambda _{1} y _{1}^{2}+\lambda _{1} y _{2}^{2}+\lambda _{2} y _{3}^2}\)?
Czy to sprowadzenie jest poprawne?

[marcinz]

Twoje przekształcenie jest poprawne (pomijając literówki). Powodem, dla którego obliczone współczynniki nie są wartościami własnymi jest to, że twoja zamiana zmiennych nie jest przekształceniem ortogonalnym (a właśnie przy takim otrzymalibyśmy wspomnianą na końcu postać).

[forgottenhopes]

To wszystko wyjaśnia. Dziękuję