postać Jordana macierzy, macierz przejścia P

[kraudia]

Witam. Mam ogromny problem z zadaniami typu "Znajdź postać Jordana macierzy A=... oraz prowadzącą do niej macierz przejścia P". Potrafię znaleźć postać Jordana, ale nie mam pojęcia jak znaleźć tą macierz przejścia??? Mógłby mi ktoś to jakoś jasno wytłumaczyć, podać jakąś metodę? Nie umiem tego nigdzie znaleźć, a mam egzamin za 2 dni. Proszę o pomoc!

[bartek118]

Początkom klatek zawsze odpowiadają wektory własne dla poszczególnych wartości własnych. Jeśli klatki są większe, to musisz policzyć przestrzenie \(\displaystyle{ \ker (A-I\cdot \lambda)^{p}}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) przebiega liczby naturalne od \(\displaystyle{ 1}\) do wielkości klatki odpowiadającej wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\). W pewnym momencie liczba wektorów bazowych zacznie się zmieniać - właśnie te dodatkowe wektory bazowe, o które będą różnić się poszczególne przestrzenie będą kolejnymi wektorami w kolumnach macierzy przejścia dla tej klatki.

[wawek91]

Hm no tak więc macierz P to macierz wektorów własnych tak? Wyliczasz wartości własne macierzy A następnie istnieje wzór do obliczania kolejnych wektorów własnych. Jak już policzysz wektory własne to 'składasz' je w jedną macierz, w kolejności od lewej tak jak liczyłaś. Ten wzór jeśli dobrze pamiętam to \(\displaystyle{ (A - \lambda_{i}I)\cdot x_{i} = 0}\) gdzie wyliczasz x czyli wektor własny. Oczywiście może pojawić się podwójna wartość własna i wtedy musisz liczyć z wektora głównego, ale ogólna zasadę podałem.

[kraudia]

Ok, rozumiem już o co chodzi. Ale nie mam pojęcia jak wyznaczyć te wektory własne jeśli wartości własne są więcej niż 1krotne. Dla przykładu:
... C+2%7D+%7D

Wartość własna to 2 i jest ona trzykrotna. Dostajemy macierz przejścia S... 1 kolumna wiem skąd się wzięła, ale druga i trzecia??? Jak to się liczy??? Skąd się to bierze???

[wawek91]

Tak jak napisałem wtedy liczysz z wektorów głównych i wzór wygląda tak \(\displaystyle{ (A-\lambda_{i}I)\cdot x_{i} = x_{i-1}}\) czyli po prostu zamiast przyrównywać do wektora zerowego przyrównujesz do wektora poprzedniego (chyba dobrze pamiętam wzór, ale jak coś proszę mnie poprawić).