Podprzestrzeń liniowa

[Nesquik]

Sprawdź czy zbiór
\(\displaystyle{ U=\left\{ w \in R_{ [x]_{3} }:w(0)=w'''(0) \wedge 2(w'(x)-w'(0))==xw''(x) \right\}}\) gdzie \(\displaystyle{ ==}\) równe tożsamościowo

Zaczęłam robić to tak:
\(\displaystyle{ w(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\)
\(\displaystyle{ w'(x)=3ax^2+2bx+c}\)
\(\displaystyle{ w''(x)=6ax+2b}\)
\(\displaystyle{ w'''(x)=6a}\)
\(\displaystyle{ w(0)=d}\)
\(\displaystyle{ w'(0)=c}\)
\(\displaystyle{ w'''(0)=6a}\)

\(\displaystyle{ w(0)=w'''(0)
d=6a}\)

\(\displaystyle{ 2(w'(x)-w'(0))==xw''(x)}\)
\(\displaystyle{ 2(3ax^2+2bx+c-c)==x(6ax+2b)}\)
\(\displaystyle{ 6ax^2+4bx==6ax^2+2bx}\)
\(\displaystyle{ 6a=6a \wedge 4b=2b}\)
\(\displaystyle{ 0=0 \wedge b=0}\)

i teraz moment w którym do konca nie wiem co się robi,mam podstawić do ogólnego wzoru \(\displaystyle{ w(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\) za \(\displaystyle{ d=6a \wedge b=0}\)??
czyli wtedy będę mieć \(\displaystyle{ w(x)=ax^3+cx+6a}\)? i teraz sprawdzam warunek na podprzestrzeń, czy może jakoś inaczej to działa?



Dalej jeszcze jest drugie polecenie ,za które kompletnie nie umiem się zabrać:
Znajdź odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f:R_{ [x]_{3} \rightarrow R_{ [x]_{2}}\) takie że \(\displaystyle{ f(x^3)=6x^2-12}\),\(\displaystyle{ f(x^2)=x+1}\) oraz \(\displaystyle{ Ker f =U}\)

[Mistrz]

Pierwsze zadanie masz dobrze - tzn. jak masz tą postać to teraz sprawdzasz tylko warunek na podprzestrzeń.

Drugie zadanie: masz wyznaczyć jeszcze \(\displaystyle{ f(x)}\) oraz \(\displaystyle{ f(1)}\). No to na przykład: \(\displaystyle{ x^3 + 6 \in U}\) więc \(\displaystyle{ 0 = f(x^3 + 6) = f(x^3) + 6f(1) = 6x^2 - 12 + 6 f(1)}\), stąd \(\displaystyle{ f(1) = 2 - x^2}\). Podobnie, z warunku, że na przykład \(\displaystyle{ x^3 + x +6 \in U}\) wyznaczysz \(\displaystyle{ f(x)}\).

[Nesquik]

Okej doliczyłam i z tego drugiego warunku wyszło ze \(\displaystyle{ f(x)=0}\)
i teraz to odwzorowanie to \(\displaystyle{ f(x^3)+f(x^2)+f(x)+f(1)}\)? jak to poprawnie zapisać?

Jezeli wiesz gdzie mogę znaleźć podobne zadanie to będę wdzięczna;)

[Mistrz]

Teraz piszemy, że \(\displaystyle{ f(a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x+a_0) = a_3(6x^2-12)+a_2(x+1)+a_0(2-x^2)}\) i już Niestety nie znam żadnych zbiorów zadań z algebry liniowej.

[Nesquik]

I tak bardzo dziękuję za pomoc,na poprawnie rozwiązanym zadaniu dużo lepiej się uczy;)