Baza ortonormalna

[Nesquik]

\(\displaystyle{ {(1,0,0,-1),(0,1,0,-1),(0,0,1,-1),(1,1,1,1)}}\) mam taką bazę,gdzie pierwsze trzy wektory sa od jednej wartości własnej, czwarty wektor od drugiej. Mam znaleźć metoda przekształceń ortogonalnych bazę ortonormalną. Z tw wiem ze wektory własne odpowiadające różnych wartościom własnym są ortogonalne czyli u mnie \(\displaystyle{ (1,1,1,1)}\) jest prostopadły do \(\displaystyle{ (1,0,0,-1),(0,1,0,-1),(0,0,1,-1)}\) .
Jak znaleźć pozostałe wektory?(metodą ortogonalizacji Gramma Schmitda?)
Szukam dwóch wektorów?

Jakby ktoś mógł podać końcowy wynik to będe wdzięczna;)-- 8 wrz 2012, o 15:05 --Mnie baza ortonormalna wyszła taka:
\(\displaystyle{ \left\{ \left( \frac{1}{ \sqrt{2} },0,0, \frac{-1}{ \sqrt{2} } \right),\left( \frac{-1}{ \sqrt{6} }, \frac{2}{ \sqrt{6} },0, \frac{-1}{ \sqrt{6} } \right),\left( \frac{-1}{ \sqrt{6} },0, \frac{2}{ \sqrt{6} }, \frac{-1}{ \sqrt{6} } \right),\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) \right\}}\)

[Ein]

\(\displaystyle{ {(1,0,0,-1),(0,1,0,-1),(0,0,1,-1),(1,1,1,1)}}\) mam taką bazę,gdzie pierwsze trzy wektory sa od jednej wartości własnej, czwarty wektor od drugiej. Mam znaleźć metoda przekształceń ortogonalnych bazę ortonormalną.

Co to za metoda? Chodzi o metodę Grama-Schmidta?

Z tw wiem ze wektory własne odpowiadające różnych wartościom własnym są ortogonalne

No zazwyczaj tak nie jest, jedynie w specjalnych przypadkach (p. Twierdzenie Spektralne).

czyli u mnie \(\displaystyle{ (1,1,1,1)}\) jest prostopadły do \(\displaystyle{ (1,0,0,-1),(0,1,0,-1),(0,0,1,-1)}\) .

No tu się zgadza. Wynika stąd, że \(\displaystyle{ (1,1,1,1)}\) jest prostopadły do dowolnego wektora należącego do otoczki liniowej wektorów \(\displaystyle{ (1,0,0,-1),(0,1,0,-1),(0,0,1,-1)}\).

Jak znaleźć pozostałe wektory?(metodą ortogonalizacji Gramma Schmitda?)
Szukam dwóch wektorów?

Wykonujesz ortogonalizację Grama-Schmidta na wektorach \(\displaystyle{ (1,0,0,-1),(0,1,0,-1),(0,0,1,-1)}\) -- słowem znajdujesz bazę ortonormalną przestrzeni \(\displaystyle{ \text{span}((1,0,0,-1),(0,1,0,-1),(0,0,1,-1))}\) i korzystasz z tego, że \(\displaystyle{ (1,1,1,1)}\) jest do niej prostopadły (musisz go znormalizować, by baza składała się z wektorów jednostkowych). Dostaniesz w sumie cztery wektory: \(\displaystyle{ (1,1,1,1)/\|(1,1,1,1)\|}\) oraz trzy powstałe w trakcie procesu GS.

[Nesquik]

ok dzieki,w taki razie po sprawdzeniu wydaje mi się ze moja baza jest okej;) mam jeszcze jedno pytanie mam wyznaczona macierz formy kwadratowej w tej nowej ortonormalnej bazie \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&4\end{array}\right]}\) jak przy jej pomocy mam wyznaczyc wartość \(\displaystyle{ g(1,1,1,1)}\)?

Ja próbowałam tak ze wyznaczyłam współrzędne \(\displaystyle{ (1,1,1,1)}\) w nowej bazie,czyli wyszło mi \(\displaystyle{ \left[ 0,0,0,2\right]}\) i teraz macierz wymnozyłam razy te współrzene i dostałam \(\displaystyle{ \left[ 0,0,0,8\right]}\) i czy teraz wartosc tego \(\displaystyle{ g(1,1,1,1)}\) to \(\displaystyle{ 8( \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})}\) czyli \(\displaystyle{ (4,4,4,4)}\)?

Podstawiając dla sprawdzenia \(\displaystyle{ (1,1,1,1)}\) do wzoru formy dostaje \(\displaystyle{ 16}\)
wzór formy to \(\displaystyle{ f(x,y,z,t)=x^2+y^2+z^2+t^2+2xy+2xz+2xt+2yz+2zt+2yt}\)