Wektory własne...

[Hubkor]

Chciałem zrozumieć o co chodzi z macierzą diagonalną, czyli potrzebowałem zrozumieć co to wektory własne. Jakoś mi szła nauka, korzystałem także z waszych podpowiedzi na tym forum i kiedy myślałem że już umiem, robię przykłady i konsekwetnie mi źle wychodzą...
Uwaga, jest taki np.:

Mamy macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&3\\0&2\end{array}\right]}\)
Wielomian charakterystyczny:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2-t&3\\0&2-t\end{array}\right]}\)
czyli:
\(\displaystyle{ (2-t)*(2-t)=4-4t+t^2}\)
t=2
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&3\\0&0\end{array}\right]}\)
Czyli mamy działanie:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&3\\0&0\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ *}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\0\end{array}\right]}\)
Wynika mi z tego że:
\(\displaystyle{ 3x=0}\) czyli wektor wlasny (0,0).

Tymczasem odpowiedź to (1,0).

Mam wrażenie że gubię się na końcu. Nie tylko w tym przykładzie.

Pomóżcie po raz kolejny (to forum jest świetne przyspiesza moją naukę ) .

[Ein]

Mamy macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&3\\0&2\end{array}\right]}\)

Od razu widać, że jest tylko jedna wartość własna równa \(\displaystyle{ 2}\) -- macierz górnotrójkątna swoje wartości własne ma na diagonali. Wektorem własnym z nią stowarzyszonym jest na pewno pierwszy wektor bazowy \(\displaystyle{ (1,0)}\). Pozostaje zatem kwestia sprawdzenia wymiaru przestrzeni własnej stowarzyszonej z \(\displaystyle{ 2}\) -- jeżeli wymiar jest większy od \(\displaystyle{ 1}\), to istnieją inne, niewspółliniowe z \(\displaystyle{ (1,0)}\), wektory własne.

Wielomian charakterystyczny:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2-t&3\\0&2-t\end{array}\right]}\)
czyli:
\(\displaystyle{ (2-t)*(2-t)=4-4t+t^2}\)

Zgadza się.

t=2
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&3\\0&0\end{array}\right]}\)
Czyli mamy działanie:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&3\\0&0\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ *}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\0\end{array}\right]}\)
Wynika mi z tego że:
\(\displaystyle{ 3x=0}\)

Raczej \(\displaystyle{ 3y=0}\). Mnożenie macierzy się kłania.

czyli wektor wlasny (0,0).

Zazwyczaj przyjmujemy, że wektory własne są niezerowe. Z równania \(\displaystyle{ 3y=0}\) wynika, że \(\displaystyle{ y=0}\), zaś \(\displaystyle{ x}\) jest zmienną wolną, czyli każdy wektor własny jest postaci \(\displaystyle{ (x,0)}\). Pamiętaj, że iloczyn wektora własnego przez skalar jest również wektorem własnym (przestrzeń własna jest podprzestrzenią liniową!), stąd jako przykład wektora własnego możesz podać \(\displaystyle{ (1,0)}\), bo każdy inny wektor własny jest wielokrotnością \(\displaystyle{ (1,0)}\).

[Hubkor]

Zdecydowanie mi pomogłeś, dziękuje, a z mnożeniem macierzy głupia wpadka
Zrobiłem zaraz sobie 6 przykładzików po tym co napisałeś, no i zaczęło mi to wychodzić, z paroma wyjątkami. Otóż okazało się że nie rozumiem pojęcia wielomiany charakterystyczne. Pierwszy przykład:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2\\2&1\end{array}\right]}\)
Robię tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1-t&2\\2&1-t\end{array}\right]}\)
Czyli wielomian charakterystyczny:
\(\displaystyle{ (1-t)*(1-t)...}\)
A wartosc wlasna to \(\displaystyle{ 1}\)
W odpowiedzi jest tak:
\(\displaystyle{ t ^{2}-2t-3}\)
wartosci wlasne to :
\(\displaystyle{ t1=-1}\)

\(\displaystyle{ t2=3}\)

Nawet byłbym skłonny uznać że to bład podr. ale podobny problem powtarza się.
Proszę jeszcze raz o tłumaczenie

[Ein]

Wielomian charakterystyczny macierzy \(\displaystyle{ A}\) to wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ A-tI}\), czyli np. dla macierzy \(\displaystyle{ 2\times2}\) mamy:

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \chi_A(t)=\det(A-tI)=\det\left[\begin{array}{cc}a-t&b\\c&d-t\end{array}\right]=(a-t)(d-t)-bc}\).

A więc u Ciebie dla macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2\\2&1\end{array}\right]}\) wielomian charakterystyczny to \(\displaystyle{ (1-t)(1-t)-4=t^2-2t-3}\).

[Hubkor]

A no dobra, czyli to po prostu wyznacznik.
Ok, czyli teraz powinno być wszystko wporządku, jeszcze raz dziękuje .