Obliczanie dl wektora i kąta między wektorami

[Barszczu1]

Hej. nie wiem jak się za to zabrać.

1. Wiadomo, że (\(\displaystyle{ \vec{a}+\vec{b})\perp\vec{a} , (2\vec{a}+\vec{b})\perp\vec{b}}\) oraz \(\displaystyle{ |\vec{a}| = 1}\). Oblicz długość wektora \(\displaystyle{ \vec{b}}\)

2. Wyznacz kąt między wektorami \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\) jeśli \(\displaystyle{ |\vec{a}| = 4 , |\vec{b}|=5}\) oraz \(\displaystyle{ |2\vec{a}+\vec{b}|= 7}\)

Liczę na Waszą pomoc

[octahedron]

1.
\(\displaystyle{ (\vec{a}+\vec{b})\perp\vec{a}{\,\red\Rightarrow\,}(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{a}=\vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|^2+\vec{a}\cdot\vec{b}=1+\vec{a}\cdot\vec{b}=0 {\,\red\Rightarrow\,} \vec{a}\cdot\vec{b}=-1\\\\
(2\vec{a}+\vec{b})\perp\vec{b}{\,\red\Rightarrow\,}(2\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{b}=2\cdot\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}=2\cdot\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2=-2+|\vec{b}|^2=0{\,\red\Rightarrow\,}|\vec{b}|=\sqrt{2}}\)

do drugiego podejście jest podobne.

[Barszczu1]

Nie widzę powiązania z zadaniem 2gim, czy ktoś mogłby rozpisać?
Octahedron super dzięki za 1wsze

[octahedron]

\(\displaystyle{ \left| 2\vec{a}+\vec{b}\right|=\sqrt{\left(2\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot\left(2\vec{a}+\vec{b}\right)}=\sqrt{4\vec{a}\cdot\vec{a}+4 \cdot \vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}}=\\
=\sqrt{4|\vec{a}|^2+4 \cdot \vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2}=\sqrt{4 \cdot \vec{a}\cdot\vec{b}+89}=7 \Rightarrow \vec{a}\cdot\vec{b}=-10\\
\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha=20\cos\alpha=-10 \Rightarrow \cos\alpha=-\frac{1}{2} \Rightarrow \alpha=\frac{2\pi}{3}}\)