Cześć, potrzebuję pomocy z zadaniem, wielkie dzięki z góry za odpowiedź.
Zortogonalizować układ wektorów \(\displaystyle{ v1 = (-1,0,-1,1), v2 = (0,1,1,1,), v3 = (0,1,1,0), v4 = (1,1,1,-1)}\) metodą Grama-Schmidta. Zapisać układ wektor \(\displaystyle{ x = (3,2,4,-4)}\) jako kombinację liniową wektorów \(\displaystyle{ {v1,v2,v3,v4}}\) i wektorów układu zortogonalizowanego. Wsk. Wykorzystać fakt, że pewne wektory danego układu są ortogonalne.
P.S.: Co to znaczy macierz:
- ortogonalna,
- odwracalna,
- diagonalizowalna.
Jeszcze raz z góry dziękuję, pozdrawiam serdecznie.
Zortogonalizować układ wektorów metodą Grama-Schmidta...
-
jsf
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 3 wrz 2012, o 18:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Komorów k. W-wy
- Pomógł: 17 razy
Zortogonalizować układ wektorów metodą Grama-Schmidta...
Co do ortogonalizacji, tu ... a-Schmidta masz gotowy wzorek i nawet przykład.
Zapisanie wektora \(\displaystyle{ x}\) jako kombinacji wektorów \(\displaystyle{ v_{1},~v_{2},~v_{3},~v_{4}}\) jest jeszcze prostsze. Piszesz \(\displaystyle{ x=av_{1}+bv_{2}+cv_{3}+dv_{4}}\), gdzie \(\displaystyle{ a,~b,~c,~d \in \mathbb{R}}\). Jak to wszystko wymnożysz i dodasz, dostaniesz układ czterech równań z czterema niewiadomymi (porównując \(\displaystyle{ i}\)-tą współrzędną wektora \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ i}\)-tą współrzędną wektora, który otrzymasz po prawej stronie równania). Wyliczasz (jeżeli rozwiązanie istnieje) odpowiednie \(\displaystyle{ a,~b,~c,~d}\) i koniec, bo twoje zortogonalizowane wektory rozpinają tę samą przestrzeń, co wektory wyjściowe. Jeżeli się przyłożysz i poczytasz o wektorach ortogonalnych, to ten punkt możesz zrobić jeszcze szybciej, poprzez rozbicie tego wektora na wektory ortogonalne:
\(\displaystyle{ x=\frac{<x,e_{1}>}{<e_{1},e_{1}>}e_{1}+...+\frac{<x,e_{4}>}{<e_{4},e_{4}>}e_{4},}\)
gdzie \(\displaystyle{ e_{1},...,e_{4}}\) to wektory ortogonalne otrzymane z pozostałych w podpunkcie pierwszym.
PS.
Pojęcia możesz sobie sprawdzić w Wikipedii. To naprawdę dobra stronka.
Zapisanie wektora \(\displaystyle{ x}\) jako kombinacji wektorów \(\displaystyle{ v_{1},~v_{2},~v_{3},~v_{4}}\) jest jeszcze prostsze. Piszesz \(\displaystyle{ x=av_{1}+bv_{2}+cv_{3}+dv_{4}}\), gdzie \(\displaystyle{ a,~b,~c,~d \in \mathbb{R}}\). Jak to wszystko wymnożysz i dodasz, dostaniesz układ czterech równań z czterema niewiadomymi (porównując \(\displaystyle{ i}\)-tą współrzędną wektora \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ i}\)-tą współrzędną wektora, który otrzymasz po prawej stronie równania). Wyliczasz (jeżeli rozwiązanie istnieje) odpowiednie \(\displaystyle{ a,~b,~c,~d}\) i koniec, bo twoje zortogonalizowane wektory rozpinają tę samą przestrzeń, co wektory wyjściowe. Jeżeli się przyłożysz i poczytasz o wektorach ortogonalnych, to ten punkt możesz zrobić jeszcze szybciej, poprzez rozbicie tego wektora na wektory ortogonalne:
\(\displaystyle{ x=\frac{<x,e_{1}>}{<e_{1},e_{1}>}e_{1}+...+\frac{<x,e_{4}>}{<e_{4},e_{4}>}e_{4},}\)
gdzie \(\displaystyle{ e_{1},...,e_{4}}\) to wektory ortogonalne otrzymane z pozostałych w podpunkcie pierwszym.
PS.
Pojęcia możesz sobie sprawdzić w Wikipedii. To naprawdę dobra stronka.
Ostatnio zmieniony 6 wrz 2012, o 19:55 przez jsf, łącznie zmieniany 1 raz.
-
mazet
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 6 wrz 2012, o 17:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrowiec Świętokrzyski
- Podziękował: 3 razy
Zortogonalizować układ wektorów metodą Grama-Schmidta...
Dziękuję ślicznie, znalazłem te pojęcia na Wiki ale to zbytnie teoretyczne "krzaki" jak dla mnie, potrafiłbyś wyjaśnić to na najprostszych nawet pojedynczych przykładach, tak po podwórkowemu?
-
jsf
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 3 wrz 2012, o 18:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Komorów k. W-wy
- Pomógł: 17 razy
Zortogonalizować układ wektorów metodą Grama-Schmidta...
W ortogonalizacji GS naprawdę wszystko jest w Wikipedii i to krok po kroku, Ciebie interesują tylko działy: "Proces ortogonalizacji" - tu masz podany algorytm, a ten "operator rzutowania ortogonalnego" to po prostu funkcja dwóch zmiennych (\(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\)) i dział "Przykład".
W definicji macierzy ortogonalnej masz zapis \(\displaystyle{ A^{T}A=I}\) i kiedy się przyjrzysz, to to znaczy tylko tyle, że kolumnami/wierszami macierzy \(\displaystyle{ A}\) są wektory ortogonalne długości \(\displaystyle{ 1}\) - czyli wektory ortonormalne.
Macierz odwracalna opisana jest bez krzaczków. Pamiętaj o kryterium, że macierzy o wyznaczniku \(\displaystyle{ 0}\) odwrócić się nie da.
Macierz diagonalizowalna to taka, że w pewnej bazie poza przekątną ma same zera. Czyli taka macierz \(\displaystyle{ A}\), że istnieje macierz zamiany bazy \(\displaystyle{ B}\), że \(\displaystyle{ B^{-1}AB}\) jest w postaci diagonalnej.
Nie umiem pisać macierzy w TeXu, więc przykładów nie podam, ale te definicje są tak proste, że sam łatwo przykłady znajdziesz.
W definicji macierzy ortogonalnej masz zapis \(\displaystyle{ A^{T}A=I}\) i kiedy się przyjrzysz, to to znaczy tylko tyle, że kolumnami/wierszami macierzy \(\displaystyle{ A}\) są wektory ortogonalne długości \(\displaystyle{ 1}\) - czyli wektory ortonormalne.
Macierz odwracalna opisana jest bez krzaczków. Pamiętaj o kryterium, że macierzy o wyznaczniku \(\displaystyle{ 0}\) odwrócić się nie da.
Macierz diagonalizowalna to taka, że w pewnej bazie poza przekątną ma same zera. Czyli taka macierz \(\displaystyle{ A}\), że istnieje macierz zamiany bazy \(\displaystyle{ B}\), że \(\displaystyle{ B^{-1}AB}\) jest w postaci diagonalnej.
Nie umiem pisać macierzy w TeXu, więc przykładów nie podam, ale te definicje są tak proste, że sam łatwo przykłady znajdziesz.
Ostatnio zmieniony 7 wrz 2012, o 00:33 przez jsf, łącznie zmieniany 4 razy.
-
mazet
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 6 wrz 2012, o 17:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrowiec Świętokrzyski
- Podziękował: 3 razy
Zortogonalizować układ wektorów metodą Grama-Schmidta...
Dlaczego takie ||V|| liczone jest jakoś dziwnie jako pierwiastek z jakiś kwadratów każdej liczby? Jeżeli mnoży się dwie takie same macierze można tak zrobić? Czy to jest cokolwiek innego?
P.S. I: Liczyłem sobie do e4 aż. Ale po jakiś takich obliczeniach wyszło mi jakieś 21-10 pierwiastków z 3 na 3, całość pod pierwiastkiem, na bank chyba nie może tak być skoro mam potem podstawiać te liczby :/ Nie umiem pisać w tym Latexie, zrobię zaraz zdjęcie dalszych obliczeń.
P.S. II: Wygląda to tak, dalej nie wiem za co się zabrać... Te liczby są kijowe jakieś:
P.S. I: Liczyłem sobie do e4 aż. Ale po jakiś takich obliczeniach wyszło mi jakieś 21-10 pierwiastków z 3 na 3, całość pod pierwiastkiem, na bank chyba nie może tak być skoro mam potem podstawiać te liczby :/ Nie umiem pisać w tym Latexie, zrobię zaraz zdjęcie dalszych obliczeń.
P.S. II: Wygląda to tak, dalej nie wiem za co się zabrać... Te liczby są kijowe jakieś:
Kod: Zaznacz cały
http://www.speedyshare.com/NbhD3/Desktop.rar