diagonalizacja macierzy

[miraf]

Pokaż że istnieje macierz \(\displaystyle{ U \in C ^{n \times n}}\), która diagonalizuje macierz \(\displaystyle{ A}\). Udowodnij, że macierzą diagonalizującą \(\displaystyle{ A}\) jest macierz unitarna.
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0\end{bmatrix}}\)

[Ein]

Jedną wartość własną widać od razu -- jest to \(\displaystyle{ 0}\), a stowarzyszonym z nią wektorem własnym jest drugi wektor bazowy. Znajdź wartości własne macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0&i\\-i&0\end{array}\right]}\), by otrzymać pozostałe dwie wartości własne. Znalezienie wektorów własnych macierzy wyjściowej powinno być proste.

[miraf]

wyszło mi że x=y=0

[Ein]

Co to jest \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)? Wartości własne wspomnianej przeze mnie macierzy \(\displaystyle{ 2\times2}\) są na pewno niezerowe (macierz jest bowiem rzędu 2).

[miraf]

pozostałe wartości to\(\displaystyle{ \lambda}\)=1 i -1
tak?-- 5 wrz 2012, o 12:06 --co dalej?

[zidan3]

Zapisz macierz w postaci Jordana i bazę Jordana.

[Ein]

Zgadza się. To teraz znajdź pozostałe dwa wektory własne macierzy \(\displaystyle{ A}\).

[zidan3]

W dodatku tu masz łatwo, bo jeżeli nie ma wielokrotnych wartości własnych to bazę Jordana tworzą wektory własne.

[miraf]

Czyli J=\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\)

[zidan3]

a co z wartością własną \(\displaystyle{ \lambda=0}\)

[miraf]

J=\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}\)

[zidan3]

Jest spoko. Jak wygląda baza Jordana?
/edit. W sumie głupie pytanie, bo już napisałem jak wygląda ale możesz napisać jaka dokładnie ci wyszła.

[miraf]

Nie bardzo wiem o co chodzi?

[zidan3]

W dodatku tu masz łatwo, bo jeżeli nie ma wielokrotnych wartości własnych to bazę Jordana tworzą wektory własne.

[miraf]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -\lambda&i&\\-i&\lambda\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \lambda}\)=1,-1 oraz 0
O to chodzi?