Witam, od pewnego czasu borykam się z problemem wyznaczania WSZYSTKICH MOŻLIWYCH wartości i odpowiadających im wektorów własnych macierzy.
Kilka razy oblałam egzamin ustny, w końcu chcę się tego nauczyć jak należy.
Wiem, że profesor uznaje tylko i wyłącznie jeden sposób rozwiązywania tego typu zadań, mianowicie "kładzie duży nacisk na rozwiązywanie układów metodą macierzową, czyli doprowadzenie macierzy układu do postaci wierszowo zredukowanej (największa macierz jednostkowa jaką się da i wyzerowane nadmiarowe wiersze) i wypisanie rozwiązania w postaci macierzowej. Proszę zwłaszcza nauczyć
się wypisywania rozwiązania w oparciu o przekształconą macierz układu."
Bardzo proszę kogoś o pomoc, bo w ogóle nie rozumiem tego wyjaśnienia, a na pewno pomogłoby mi, gdybym miała przed oczami dobrze rozwiązany przykład i krok po kroku widziałabym skąd się wszystko wzięło.
Na egzaminie dostałam takie oto macierze:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4&-6&0&0\\1&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&2\end{bmatrix}}\) oraz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 5&3\\-6&-4\end{bmatrix}}\)
Polecenie: "Znaleźć wszystkie wartości własne i wszystkie wektory własne tych macierzy".
Bardzo proszę o pomoc.
Wartości i wektory własne macierzy
-
miodzio1988
Wartości i wektory własne macierzy
No to od czego zaczynamy? Od policzenia wyznacznika jakiej macierzy?
Wartości i wektory własne macierzy
Najpierw chciałabym zrobić łatwiejszy przykład - więc może lepiej by zacząć od macierzy 2x2?
Na przekątnej (z lewego górnego rogu do prawego dolnego) wstawiam "-lambda". I szukam wartości własnych. Przyrównuję wyznacznik do zera i otrzymuję wielomian charakterystyczny macierzy
-(5-lambda)(4+lambda)+18=0. Wyliczam z tego wartości własne : to "2" oraz "-1".
Następnie podstawiam jako lambdę 2 i otrzymuję nową macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&3\\-6&-6\end{bmatrix}}\) .
I na tym moja wiedza się kończy, bo profesor ma swoje (wyżej wymienione) wymagania i nie wiem jak to dalej ugryźć.
Na przekątnej (z lewego górnego rogu do prawego dolnego) wstawiam "-lambda". I szukam wartości własnych. Przyrównuję wyznacznik do zera i otrzymuję wielomian charakterystyczny macierzy
-(5-lambda)(4+lambda)+18=0. Wyliczam z tego wartości własne : to "2" oraz "-1".
Następnie podstawiam jako lambdę 2 i otrzymuję nową macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&3\\-6&-6\end{bmatrix}}\) .
I na tym moja wiedza się kończy, bo profesor ma swoje (wyżej wymienione) wymagania i nie wiem jak to dalej ugryźć.
-
miodzio1988
Wartości i wektory własne macierzy
Nie sprawdzam czy dobrze policzyłeś. Ale otrzymana macierz wydaje się być sensowna. Zatem z taką macierzą rozwiązujesz układ jednorodny
Wartości i wektory własne macierzy
czyli \(\displaystyle{ \begin{cases} 3x+3y=0\\-6x-6y=0\end{cases}}\) ?
Jeśli tak, to profesor już mi tego nie zaakceptuje - probowałam tak to rozwiązywać, to od razu mi przerwał.
Jeszcze raz zaznaczam, że to jego metoda :""kładzie duży nacisk na rozwiązywanie układów metodą macierzową, czyli doprowadzenie macierzy układu do postaci wierszowo zredukowanej (największa macierz jednostkowa jaką się da i wyzerowane nadmiarowe wiersze) i wypisanie rozwiązania w postaci macierzowej. Proszę zwłaszcza nauczyć
się wypisywania rozwiązania w oparciu o przekształconą macierz układu.""
Jeśli tak, to profesor już mi tego nie zaakceptuje - probowałam tak to rozwiązywać, to od razu mi przerwał.
Jeszcze raz zaznaczam, że to jego metoda :""kładzie duży nacisk na rozwiązywanie układów metodą macierzową, czyli doprowadzenie macierzy układu do postaci wierszowo zredukowanej (największa macierz jednostkowa jaką się da i wyzerowane nadmiarowe wiersze) i wypisanie rozwiązania w postaci macierzowej. Proszę zwłaszcza nauczyć
się wypisywania rozwiązania w oparciu o przekształconą macierz układu.""
-
miodzio1988
Wartości i wektory własne macierzy
A kto Ci kazał przechodzić na układ równań? Działaj dalej na macierzy i eliminacja Gaussa
Wartości i wektory własne macierzy
Ok, więc mając macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&3\\-6&-6\end{bmatrix}}\) dokonuję przekształceń:
* pierwszy wiersz mnożę przez 1/3 \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\\-6&-6\end{bmatrix}}\)
* drugi wiersz mnożę przez -1/6 \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\\1&1\end{bmatrix}}\)
* następnie operacja "wiersz 2 - wiersz 1" \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\\0&0\end{bmatrix}}\)
I co dalej ?
* pierwszy wiersz mnożę przez 1/3 \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\\-6&-6\end{bmatrix}}\)
* drugi wiersz mnożę przez -1/6 \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\\1&1\end{bmatrix}}\)
* następnie operacja "wiersz 2 - wiersz 1" \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\\0&0\end{bmatrix}}\)
I co dalej ?
-
miodzio1988
Wartości i wektory własne macierzy
I z tej postaci odczytujesz rozwiązanie, które to możesz przedstawić też za pomocą macierzy
-
miodzio1988
Wartości i wektory własne macierzy
x+y=0 \ 0=0
Kurczę, nie wiem, co mi to daje, mam sobie zgadnąć, że x=1 a y=-1 albo x=5 a y=-5 ?
A to 0=0?
(wiem, pewnie to banalne..)
Kurczę, nie wiem, co mi to daje, mam sobie zgadnąć, że x=1 a y=-1 albo x=5 a y=-5 ?
A to 0=0?
(wiem, pewnie to banalne..)
Wartości i wektory własne macierzy
pytanie jak wyżej również mam ten sam problem... tak więc najpierw szukam wartości własnych macierzy
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}4&-6&0&0\\1&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&2\end{array}\right]}\) jest kilka ... skupmy się na lamba=2 otrzymujemy macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&-6&0&0\\1&-3&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&0\end{array}\right]}\) w tym momencie najchętniej bym przeprowadziła operacje W1 - 2xW2 jednak profesor powiedział, że on chce bym sprowadziła tą macierz do postaci wierszowo zredukowanej ... pytanie brzmi jak ? czy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&-3&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&0\end{array}\right]}\) nie jest postacią wierszowo zredukowaną ?
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}4&-6&0&0\\1&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&2\end{array}\right]}\) jest kilka ... skupmy się na lamba=2 otrzymujemy macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&-6&0&0\\1&-3&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&0\end{array}\right]}\) w tym momencie najchętniej bym przeprowadziła operacje W1 - 2xW2 jednak profesor powiedział, że on chce bym sprowadziła tą macierz do postaci wierszowo zredukowanej ... pytanie brzmi jak ? czy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&-3&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&0\end{array}\right]}\) nie jest postacią wierszowo zredukowaną ?