Znaleźć równanie stycznej do elipsy.

[lothar1410]

Witam wszystkich. Pewne zadanie nastręcza mi problemów i nie mogę go po prostu wykonać. Zapewne jest banalne, ale czegoś nie dostrzegam.

Treść:
Znaleźć równanie stycznej do elipsy \(\displaystyle{ 18x^{2} + 32y^{2} = 576}\) w punkcie \(\displaystyle{ M \left( 3, 4 \right)}\)

Prosiłbym o rozjaśnienie mi tego zadania. I z góry dziękuję.

P.S. Jeśli w zły dział trafiłem to przepraszam.

[norwimaj]

Jednym ze sposobów jest przeskalowanie tej elipsy tak, żeby stała się okręgiem.

Drugi sposób to wyznaczenie wzoru funkcji, której wykresem jest górna połówka elipsy i policzenie stycznej za pomocą pochodnej.

[lothar1410]

Jednak nic mi to nie mówi. -- 8 wrz 2012, o 00:55 --OK. Nie wiedziałem że to zadanie jest tak banalne...
Przedstawię rozwiązanie, komuś się przyda:

Najpierw równanie \(\displaystyle{ 18x^{2} + 32y^{2} = 576}\) przekładamy na postać równania elipsy \(\displaystyle{ \frac{ x^{2} }{ a^{2} } + \frac{ y^{2} }{ b^{2} } = 1}\) co w naszym przykładzie będzie wyglądało tak:

\(\displaystyle{ \frac{ 18x^{2} }{ 576 } + \frac{ 32x^{2} }{ 576 } = 1}\)

Następnie równanie stycznej do elipsy w punkcie:

\(\displaystyle{ \frac{ x x_{0} }{ a^{2} } + \frac{ y y_{0} }{ b^{2} } = 1}\)

Podstawiając wartości mamy:

\(\displaystyle{ \frac{ 18x \cdot 4 }{ 576 } + \frac{ 32y \cdot 4 }{ 576 } = 1}\)

Co daje nam odpowiedź:

\(\displaystyle{ \frac{ 1 }{ 8 } x + \frac{ 1 }{ 6 } y = 1}\)