iloczyn skalarny w przestrzeni unitarnej

[miraf]

W przestrzeni unitarnej \(\displaystyle{ R^{2}}\) z iloczyne skalarnym określonym wzorem:
\(\displaystyle{ ([ x _{1} , x _{2} ],[ y _{1} , y _{2} ])= x _{1} y_{1} + x _{1} y _{2} + x _{2} y _{1} + 2x _{2} y _{2}}\)
oblicz iloczyn \(\displaystyle{ (v,u)}\), długości wektorów oraz kąt między danymi wektorami: \(\displaystyle{ v=(1,0), u=(0,1)}\)
Uprzejmie proszę o rozwiązanie tego zadania ponieważ nie mogę sobie z nim poradzić. Z góry dziękuje za pomoc.

[Lorek]

Aby obliczyć iloczyn po prostu podstawiasz do wzoru,
\(\displaystyle{ (v,u)=\big([1,0],[0,1]\big)=...}\)
długość wektora
\(\displaystyle{ |u|=\sqrt{(u,u)}}\)
"kąt" między wektorami
\(\displaystyle{ \theta = \arccos \frac{(u,v)}{|u|\cdot |v|}}\)

[Adifek]

W czym problem?
\(\displaystyle{ (v,u)=((1,0),(0,1))=1 \cdot 0 + 1 \cdot 1+0 \cdot 1 +2 \cdot 0 \cdot 1 = 1}\)

\(\displaystyle{ ||v||^{2}=(v,v)=1 \cdot 1+1 \cdot 0+0 \cdot 1+2 \cdot 0 \cdot 0=1}\)

Stąd \(\displaystyle{ ||v||=1}\).

\(\displaystyle{ ||u||^{2}=(u,u)=0 \cdot 0+0 \cdot 1+1 \cdot 0+2 \cdot 1 \cdot 1=2}\)

Stąd \(\displaystyle{ ||u||=\sqrt{2}}\).


\(\displaystyle{ \varphi = \arccos \frac{(v,u)}{||v|| \cdot ||u||} = \arccos \frac{1}{\sqrt {2}}= \frac{\pi}{4}}\)