Współrzędne wektora w bazie

[marlenka111]

1.Dane są współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{u} \in R ^{3}}\) w bazie \(\displaystyle{ B=( \vec{v} _{1}, \vec{v} _{2}, \vec{v} _{3})}\) i \(\displaystyle{ \vec{u}= [2,1,3]_{B}}\). Znaleźć współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{u}}\) w bazie \(\displaystyle{ B'=(\vec{v} _{1},2\vec{v} _{1}+\vec{v} _{2},\vec{v} _{1}-\vec{v} _{2}+\vec{v} _{3})}\).
I tu mam pytanie powinnam mieć coś takiego: \(\displaystyle{ (2,1,3)= \alpha (1,2,1)+ \beta (0,1,-1)+\gamma (0,0,1)}\) czy coś takiego: \(\displaystyle{ (2,1,3)= \alpha (1,0,0)+ \beta (2,1,0)+\gamma (1,-1,1)}\)?
2. Znaleźć bazę podprzestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ V=\left\{ (x+y,2x,y-x,3y), x,y \in R\right\}}\)w której wszystkie współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{u}=(3,4,-1,3)}\) są równe 6.
Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ V=\left\{ (x+y,2x,y-x,3y), x,y \in R\right\}, V=lin\left\{ (1,2,-1,0),(1,0,1,3)\right\}}\)
\(\displaystyle{ u_{1}= \alpha _{1}(1,2,-1,0)+ \beta _{1}(1,0,1,3) \wedge u_{2}= \alpha _{2}(1,2,-1,0)+ \beta _{2}(1,0,1,3)}\)
\(\displaystyle{ (3,4,-1,3)= 6 \alpha _{1}(1,2,-1,0)+ 6 \beta _{1}(1,0,1,3)+ 6 \alpha _{2}(1,2,-1,0)+ 6\beta _{2}(1,0,1,3)}\), \(\displaystyle{ \alpha _{1},\alpha _{2},\beta _{1},\beta _{2}=?}\). Mam pytanie czy to jest dobre rozumowanie?

[scyth]

1. Wiemy, że:
\(\displaystyle{ \vec{u}=2\vec{v_1}+\vec{v_2}+3\vec{v_3}}\)
Masz policzyć:
\(\displaystyle{ \vec{u}=\alpha \vec{v_1} + \beta (2\vec{v_1}+\vec{v_2})+\gamma (\vec{v_1}-\vec{v_2}+\vec{v_3})}\)
(korzystamy z tego, że rozkład wektora na wektory bazowe jest jednoznaczny)

2. tak