Kiedy jedno, wiele lub wcale rozwiązań.

[this]

Witam
Mam takie zadanie:
Dla jakich "k" i "h", system:
\(\displaystyle{ x - hy = 1\\
3x - 3y = k}\)
będzie miał:
a)Zero rozwiązań.
b)Dokładnie jedno rozwiązanie.
c)Nieskończoną ilość rozwiązań.

Nie bardzo mam wyczucie co tu zrobić, więc zrobiłem jedyne co przyszło mi do głowy czyli wrzuciłem to w macierz i zredukowałem, wyszło mi:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&-h&1\\0&3h&k\end{array}\right]}\)
Czyli \(\displaystyle{ h = 3k}\)
Ale co z tym dalej zrobić?

Dzięki, pozdrawiam.

[octahedron]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&-h&1\\3&-3&k\end{bmatrix} \Rightarrow w_2-3w_1 \Rightarrow \begin{bmatrix}1&-h&1\\0&3h-3&k-3\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ h=1,\,k=3}\) - nieskończenie wiele rozwiązań
\(\displaystyle{ h=1,\,k\ne 3}\) - brak rozwiązań
\(\displaystyle{ h\ne 1}\) - jedno rozwiązanie

Można też wyznacznikami:

\(\displaystyle{ W=3h-3\\
W_x=hk-3\\
W_y=k-3}\)

\(\displaystyle{ W=W_x=W_y=0}\) - nieskończenie wiele rozwiązań
\(\displaystyle{ W=0, W_x\ne 0\vee W_y\ne 0}\) - brak rozwiązań
\(\displaystyle{ W\ne 0}\) - jedno rozwiązanie

[this]

Dzięki. Prosił bym jeszcze o potwierdzenie czy dobrze sobie te wyniki wytłumaczyłem:

a)Jeżeli \(\displaystyle{ h=1; k\neq3}\) to drugie równanie wyszło by \(\displaystyle{ 0=k-3}\) czyli, zero równa się nie-zero, czyli brak rozwiązań.

c)Jeżeli \(\displaystyle{ h=1, k=3}\) to pierwsza i druga linia się pokrywają, więc jest nieskończenie wiele rozwiązań(wszystkie punkty wzdłuż tej linii).

Nie bardzo wiem jak opisać b), można by powiedzieć, że jeżeli \(\displaystyle{ h\neq1}\) to wtedy dwie funkcje mają inną pochodną, więc linie mają inny "slope"(pochylenie?) więc muszą się przeciąć w jednym punkcie, ale czy to jest dobra odpowiedź na "algebrę liniową"?

Bardzo bym prosił o weryfikację czy dobrze to rozumiem, czy bredzę.

Dzięki, pozdrawiam.

[Ponewor]

Nie, nie bredzisz. Proste są po prostu nierównoległe i jest to elementarny fakt wykładany w szkole średniej bez pochodnych

[this]

Dzięki panowie!