Rząd macierzy 3x4 z parametrem

[przemulala]

Witam!


Ćwiczę rozwiązywanie układów równań z parametrem z wykorzystaniem tw. Kroneckera-Capelli'ego. Ale mój problem polega na wyznaczeniu rzędu macierzy z parametrem. O ile "daję radę" kiedy np. w macierzy 3x4 jest jeden parametr, o tyle coś takiego:

\(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{cccc}
2&-1&-1&a+1\\
-1&2&3&2\\
3&a&1&4
\end{array}\right]}\)

...okazuje się być dla mnie już nie do przeskoczenia. Rozpracowuję tego typu zadania w ten sposób, że doprowadzam do policzenia wyznacznika macierzy 3x3, poprzez eliminację kolumn/wierszy zgodnie z własnościami rzędów.

Możecie coś poradzić? Może jest opcja, żeby uporać się z tym problemem w jakiś inny sposób? Będę wdzięczny za pomoc!

PS: Przyszedł mi na myśl taki pomysł:
1) wybieram dowolne 3 kolumny
2) liczę wyznacznik tak utworzonej macierzy
3) sprawdzam, co dzieje się dla warunku, kiedy det = 0, wstawiając otrzymaną wartość parametru do wyjściowej macierzy i badając jej rząd.

Zadziała w każdym przypadku? Policzyłem i wyszło zgodnie z odpowiedzią... Ale mam pewne wątpliwości co do poprawności tej metody: czy nie pomijam jakichś rozwiązań? Przecież można utworzyć wiele kombinacji "nowych macierzy" korzystając z dowolnych dostępnych kolumn.

[Marcinek665]

Jest chyba oczywiste, że rząd jest równy co najmniej \(\displaystyle{ 2}\) (patrzymy wtedy na wyznacznik \(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
3 & 2\\
1 & 4
\end{vmatrix}=10}\)). Żeby sprawdzić, kiedy jej rząd jest równy \(\displaystyle{ 3}\), należy znaleźć takie \(\displaystyle{ a}\), że

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
2 & -1&-1\\
-1 & 2 & 3 \\
3 & a & 1
\end{vmatrix} \neq 0}\) lub \(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
-1&-1&a+1\\
2 & 3 & 2 \\
a & 1 & 4
\end{vmatrix} \neq 0}\) i podobnie dla dwóch ostatnich macierzy powstałych z usunięcia środkowych kolumn, a to już proste. To chyba możliwie najłatwiejsze podejście (oczywiście dla małych macierzy)

[przemulala]

Czyli mam rozumieć, że należy policzyć wyznaczniki 3x3 ze wszystkich czterech możliwych kombinacji kolumn tej macierzy 3x4? Moje pytanie sprowadza się od początku właśnie do tego: czy wystarczy, że policzę wyznacznik dla jednej kombinacji (np. trzy pierwsze kolumny), czy muszę uwzględnić wszystkie możliwe kombinacje, tak, by nie utracić jakichś rozwiązań.

[smigol]

Może jest opcja, żeby uporać się z tym problemem w jakiś inny sposób?

Możesz schodkować. I patrzeć dla jakich \(\displaystyle{ a}\) masz \(\displaystyle{ 1}\) schodek, dla jakich \(\displaystyle{ 2}\) schodki, dla jakich \(\displaystyle{ 3}\).

[przemulala]

Słyszałem o tej metodzie, jednakże nie została ona wprowadzona na mojej uczelni, więc wolę nie stosować jej na egzaminie. Można by rzec, że podstawową metodą pracy, była eliminacja kolumn/wierszy proporcjonalnych/zerowych/identycznych, ale chociażby w podanym przeze mnie przypadku bardzo trudno (w ogóle się da?) tak to "załatwić". Stąd moje pytanie o "metodę wyznacznikową". Byłaby w tym przypadku najszybsza, miejmy nadzieję, że nie generowałaby błędów, oraz przede wszystkim zgodna z tym, czego się ode mnie wymaga na przedmiocie.

[Marcinek665]

Czyli mam rozumieć, że należy policzyć wyznaczniki 3x3 ze wszystkich czterech możliwych kombinacji kolumn tej macierzy 3x4?

Tak, ale akurat wyznaczniki \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) da się jeszcze szybko policzyć w pamięci.