wymiar przestrzeni

[ros1]

Witam

Czy moglby ktos pomoc policzyc wymiar przestrzeni wektorowej


\(\displaystyle{ \left\{ p \in R_{4} \left[ x\right]:p(1)+p'(0)=p'(1)+p''(0)=0\right\}}\)

[pyzol]

Jakbyś zapisał dowolny wieomian należący do tej przestrzeni?

[szw1710]

Zobacz jakie współczynniki tam ingerują. Analogiczne zadanie było tu robione ze dwa miesiące temu. Nie wiem czy sam czegoś na ten temat nie pisałem, więc możesz próbować przeszukiwać moje stare posty.

[ros1]

pyzol,

\(\displaystyle{ x^4-x^2=0}\)

\(\displaystyle{ x=0,0,1,-1}\)

tedy wymiar 4?

[pyzol]

Dowolny wielomian ma postać:
\(\displaystyle{ a_0+a_1 x+a_2 x^2 +a_3 x^3+a_4 x^4}\)
Choć nie wiem, czy nie powinno być stopnia o jeden niżej. W każdym bądź razie po podwójnym zrócznikowaniu i podstawieniu będziesz miał 2 równania wiążące.

[ros1]

\(\displaystyle{ p=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}\)

\(\displaystyle{ p'=4ax^3+3bx^2+2cx+d}\)

\(\displaystyle{ p''=12ax^2+6bx+2c}\)

\(\displaystyle{ p(1)+p'(0)=(a+b+c+d+e)+(d)=0}\)

\(\displaystyle{ p'(1)+p''(0)=(4a+3b+2c+d)+(2c)=0}\)

i tedy np. a=1 i c=-1, b=d=e=0 mamy \(\displaystyle{ x^4-x^2=0}\) i mamy 4 odpowiedzi i tedy wymiar 4 czy nie?

[pyzol]

Masz dwa równania i 5 zmiennych. Wyznacz \(\displaystyle{ e}\) z pierwszego, \(\displaystyle{ d}\), z drugiego. Masz dwie zmienne zależne od pozostałych. 3 zmienne są niezależne więc wymiar przestrzeni, to \(\displaystyle{ 3}\).