Iloczyn skalarny

[Vercyngetorix]

Proszę o pomoc w poniższym zadaniu bo nie wiem jak je "ugryźć"
Dane są wektory
\(\displaystyle{ \vec{a} , \vec{b} /takie / \left| \vec{a} \right| =4 , \left| \vec{b} \right| =2}\)
Obliczyć kąt
\(\displaystyle{ \alpha}\)
pomiędzy tymi wektorami, jeśli wektory
\(\displaystyle{ 3 \vec{a} - \vec{b} / oraz / \vec{a} +2 \vec{b}}\)
są prostopadłe.

[pyzol]

No jeśli są prostopadłe, to ich iloczyn skalarny wynosi \(\displaystyle{ 0}\).
A teraz zapisz to w równaniu.

[Vercyngetorix]

Ok wiem że
\(\displaystyle{ \left[ 3 \vec{a}- \vec{b} \right] \cdot \left[ \vec{a}+2 \vec{b} \right]=0}\)
ze względu na \(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{2}}\)
Jednakże nie wiem jak sie do tego zabrać. Aby mieć kąt\(\displaystyle{ \alpha}\) musze mieć skalar wektorów \(\displaystyle{ \vec{a} \cdot \vec{b}}\) potrzebny do wykorzystania przekształcenia
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{{\left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| }}}\)

[pyzol]

Iloczyn skalarny jest dość miły, możesz to rozpisać jak zwykły iloczyn (poszukaj o własnościach):
\(\displaystyle{ \left(3\vec{a}-\vec{b} \right)\cdot \left( \vec{a}+2\vec{b} \right)=\\
3\vec{a}^2+6\vec{a}\cdot \vec{b}-\vec{a}\cdot\vec{b}-2\vec{b}^2=\\
3\vec{a}^2+5\vec{a}\cdot \vec{b}-2\vec{b}^2}\)
Teraz \(\displaystyle{ \vec{a}^2=|a|^2}\) to samo się tyczy \(\displaystyle{ b}\).

[Vercyngetorix]

Dzięki za pomoc