tw. o zmianie baz przestrzeni

[forgottenhopes]

Mam problem z zrozumieniem dowodu do pewnego twierdzenia.


Niech \(\displaystyle{ f: R^{n} \rightarrow R^{m}}\) będzie odwzorowaniem liniowym, \(\displaystyle{ B _{1}, B _{1}'}\) bazami przestrzeni \(\displaystyle{ R^{n}}\), a \(\displaystyle{ B _{2}, B _{2}'}\) bazami przestrzeni \(\displaystyle{ R^m}\).
Wówczas jeśli oznaczymy
\(\displaystyle{ A=M _{f(B _{1},B _{2} ) }}\)
\(\displaystyle{ B=M _{f(B _{1}',B _{2}' )}}\)
\(\displaystyle{ P=P _{B _{1} \rightarrow B _{1}'}}\)
\(\displaystyle{ Q=P _{B _{2} \rightarrow B _{2}'}}\)

to \(\displaystyle{ B=Q ^{-1} \cdot A \cdot P}\)

Dowód:
\(\displaystyle{ f=id _{R^m}\circ f \circ id _{R^n}}\)
\(\displaystyle{ B=M _{f(B _{1}',B _{2}' )}=M _{id _{R^m}(B _{2}, B _{2}') } \cdot M _{f(B _{1},B _{2} ) } \cdot M _{id _{R^n}}( B_{1}', B _{1})= P _{B _{2}' \to B _{2} } } \cdot A \cdot P _{B _{1} \rightarrow B _{1}' } }}\)


Gdyby ktoś mógł od pierwszej linijki omówić ten dowód to byłabym wdzięczna. Interesuje mnie każde przejście.

[szw1710]

Istotne jest tu, że macierzą złożenia odwzorowań liniowych jest iloczyn macierzy składanych przekształceń. Tyle.

[forgottenhopes]

Chyba zrozumiałam o co chodzi, ale mam jeszcze pytanie. Dlaczego
\(\displaystyle{ P _{B _{2}' \to B _{2} } }=M _{id _{R^m}(B _{2}, B _{2}') }}\) ?

[szw1710]

To trzeba sobie na spokojnie rozpisać na przestrzeniach niskich wymiarów i się zobaczy. Rzecz należy do tej kategorii, na którą matematyk nie zwraca uwagi, bo tak po prostu jest Rozważ konkretne odwzorowanie liniowe np. \(\displaystyle{ f:\RR^2\to\RR^3}\) albo jeszcze prościej \(\displaystyle{ f:\RR^2\to\RR^2,}\)