czy są odwzorowaniami liniowymi

[ros1]

Witam

Mam 3 odwzorowania. Jaki z nych są odwzorowaniami liniowymi ?

\(\displaystyle{ 1. f(x,y,z)=(xy,2x-y,3xy)}\)
\(\displaystyle{ 2. f(x,y,z)=(0,x,2x-z)}\)
\(\displaystyle{ 3. f(x,y,z)=(x^2,y^2, (x-y)^{2} )}\)

Robilem

1.
\(\displaystyle{ \alpha (x1x2)+ \beta (y1y2), \alpha (2x1-x2)+ \beta (2y1-y2), \alpha (3x1x2)+ \beta (3y1y2)= \alpha (x1x2,2x1-x2,3x1x1)+ \beta (y1y2,2y1-y2,3y1y2)}\)

2.
\(\displaystyle{ \alpha (0)+ \beta (0), \alpha (x1)+ \beta (y1), \alpha (2x1-x3)+ \beta (2y1-y3)= \alpha (0,2x1,2x1-x3)+ \beta (0,y1,2y1-y3)}\)

3.

\(\displaystyle{ \alpha ( (x1)^{2})+ \beta ((y1)^{2}), \alpha ((x2)^{2})+ \beta ((y2)^{2}), \alpha ((x1-x2)^{2})+ \beta ((y1-y2)^{2})= \alpha ((x1)^{2},(x2)^{2},(x1-x2)^{2})+ \beta ((y1)^{2},(y2)^{2},(y1-y2)^{2})}\)

I jako \(\displaystyle{ f( \alpha (x1,x2,x3)+ \beta (y1,y2,y3))= \alpha f(u)+ \beta f(v)}\) gdzie\(\displaystyle{ u =(x1,x2,x3), v = (y1,y2,y3)}\)

Otrzymałem ze wszystkie 3 są odwzorowaniami liniowymi. Czy mam bląd?

[Nakahed90]

Nie jestem w stanie Ci powiedzieć gdzie masz błąd (chyba, że napisze, że wszędzie, bo to co napisaleś to jest bez sensu).
Więc zacznijmy od początku. Jaka jest definicja przekształcenia liniowego?

[ros1]

\(\displaystyle{ f( \alpha (x1,x2,x3)+ \beta (y1,y2,y3))= \alpha f(u)+ \beta f(v) gdzieu =(x1,x2,x3), v = (y1,y2,y3)}\)

[Nakahed90]

Ok, warunek z definicji znasz. To czemu tam co innego pisałeś? Zastosuje definicję którą napisałeś w swoich przykładach.

[ros1]

Myslę ze napisalem...

Czy mozesz wytłumaczyć 1 przyklad jak robic?

zrobię sobie resztę

[Nakahed90]

Tu masz rozwiązane przykładowe zadanie:

Wyobraźmy sobie hipotetyczne przekształcenie
\(\displaystyle{ f:R^2 \rightarrow R^3}\)
\(\displaystyle{ f([x,y])=\left[\begin{array}{c}2x\\x+y\\3y-x\end{array}\right]}\)

Weźmy dowolne skalary \(\displaystyle{ \alpha, \beta \in R}\) oraz wektory \(\displaystyle{ [x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}]}\), wtedy:
\(\displaystyle{ f(\alpha \cdot [x_{1},y_{1}]+\beta \cdot [x_{2},y_{2}])=f([\alpha \cdot x_{1}+\beta \cdot x_{2}, \alpha \cdot y_{1}+\beta \cdot y_{2}])=\left[\begin{array}{c}2\cdot (\alpha \cdot x_{1}+\beta \cdot x_{2})\\\alpha \cdot x_{1}+\beta \cdot x_{2}+\alpha \cdot y_{1}+\beta \cdot y_{2}\\3\cdot (\alpha \cdot y_{1}+\beta \cdot y_{2})-(\alpha \cdot x_{1}+\beta \cdot x_{2})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\cdot \alpha x_{1}\\\alpha x_{1}+\alpha y_{1}\\3\cdot \alpha y_{1}-\alpha \cdot x_{1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}2\cdot \beta x_{2}\\\beta x_{2}+ \beta y_{2}\\3\cdot \beta y_{2} - \beta \cdot x_{2}\end{array}\right]=\alpha \cdot \left[\begin{array}{c}2x_{1}\\x_{1}+y_{1}\\3y_{1}-x_{1}\end{array}\right]+ \beta \cdot \left[\begin{array}{c}2x_{2}\\x_{2}+y_{2}\\3y_{2}-x_{2}\end{array}\right]=\alpha \cdot f([x_{1},y_{1}])+\beta \cdot f([x_{2},y_{2}])}\)

Z dowolności f jest przekształceniem linowym.

[ros1]

2 jest odwzorowaniem liniowym

A napr. 1

\(\displaystyle{ 1. f(x,y,z)=(xy,2x-y,3xy)}\)
\(\displaystyle{ f(\alpha \cdot [x_{1},y_{1}]+\beta \cdot [x_{2},y_{2}])=f([\alpha \cdot x_{1}+\beta \cdot x_{2}, \alpha \cdot y_{1}+\beta \cdot y_{2}])=\left[\begin{array}{c}(\alpha \cdot x_{1}+\beta \cdot x_{2})(\alpha \cdot y_{1}+\beta \cdot y_{2})\\\(2(\alpha \cdot x_{1}+\beta \cdot x_{2})-(\alpha \cdot y_{1}+\beta \cdot y_{2})\\\ 3(\alpha \cdot x_{1}+\beta \cdot x_{2})(\alpha \cdot y_{1}+\beta \cdot y_{2})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}( \alpha x_{1} \alpha y_{1}+ \alpha x_{1} \beta y_{2}+ \alpha y_{1} \beta x_{2}+ \beta x_{2} \beta y_{2})\\\(2(\alpha \cdot x_{1}+\beta \cdot x_{2})-(\alpha \cdot y_{1}+\beta \cdot y_{2})\\\ 3(\alpha x_{1} \alpha y_{1}+ \alpha x_{1} \beta y_{2}+ \alpha y_{1} \beta x_{2}+ \beta x_{2} \beta y_{2})\end{array}\right]}\)

Tedy 1 z definicj nie jest przekształceniem linowym, tak jak otrzymamy

\(\displaystyle{ \alpha (x_{1} y_{1}+ x_{1} \beta y_{2}+ y_{1} \beta x_{2})+ \beta (x_{2} y_{2})}\)


tedy 3 nie jest tez, poniewaz otrzymamy to same dla \(\displaystyle{ x^2+2xy+y^2}\) dla \(\displaystyle{ 2xy}\)

Czy to tak?

[Nakahed90]

Końcowe stwierdzenia są ok, jednak wg. mnie tak zdawkowe opisy czemu to nie jest przekształcenie liniowe mogą nie przejść na kolokwium.