Mam znaleźć 4 przestrzenie fundamentalne(w bazach standardowych) dla odwzorowania:
\(\displaystyle{ T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}_{\left[ x\right ]_{2} }}\)
Dane wzorem:
\(\displaystyle{ T\left( a\right) =\left( a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4} \right)+\left( a_{1}-a_{2}+a_{3}+2a_{4}\right)x+\left( -2a_{1}+6a_{2}-2a_{3}-a_{4}\right) x^{2}}\)
Tworze macierz odwzorowania liniowego:
\(\displaystyle{ T\left( e_{1}\right)=1+x-2x^{2}}\)
\(\displaystyle{ T\left( e_{2}\right)=1-x+2x^{2}}\)
\(\displaystyle{ T\left( e_{3}\right)=1+x-2x^{2}}\)
\(\displaystyle{ T\left( e_{1}\right)=1+2x-6x^{2}}\)
Więc macierz odwzorowania ma postać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&-2\\1&-1&6\\1&1&-2\\1&2&-6\end{array}\right]}\)
Po sprowadzeniu jej do postaci górnoschodkowej otrzymuje:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&-2\\0&-1&4\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right]}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ R\left( a\right)=\left\{ \left[ 1,1,1,1\right], \left[ 1,-1,1,2\right] \right\}}\)
Obliczam teraz \(\displaystyle{ N\left( a\right)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} + x_{2} -2x_{3} \\ -x_{2}+4x_{3}=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{3}=x_{3} \\ x_{2}=4x_{3} \\ x_{1}=-2x_{3} \end{cases}}\)
Więc:
\(\displaystyle{ x_{3}*\left[ -2,4,1\right]}\)
Zatem bazą \(\displaystyle{ N\left( a\right)}\) jest wektor: \(\displaystyle{ \left[ -2,4,1\right]}\)
\(\displaystyle{ A^{T}= \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\1&-1&1&2\\-2&6&-2&-6\end{array}\right]}\)
Po zredukowaniu do postaci górnoschodkowej otrzymuję:
\(\displaystyle{ A^{T}= \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\0&-2&0&1\\0&0&0&0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ R\left( A^{T} \right)=\left\{ \left[ 1,1,-2\right],\left[ 1,-1,6\right] \right\}}\)
Zaś wektor \(\displaystyle{ N\left( A^{T}\right)}\) ma postać:
\(\displaystyle{ A^{T}= \left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2}x_{4} & \frac{1}{2}x_{4} &x_{3}&x_{4}\end{array}\right]}\)
Więc baza \(\displaystyle{ N\left( A^{T} \right)=\left\{ \left[ -1,0,1,0\right],\left[ -\frac{3}{2}, \frac{1}{2},0,1 \right] \right\}}\)
Będę wdzięczny, jeśli ktoś kompetentny wypowie się na temat tego rozwiązania.