Przekształcenie liniowe- JĄDRO

[O-L-A]

Podaj przykład dowolnego przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ f:R^{3} \rightarrow R ^{3}}\) takiego, że \(\displaystyle{ dim Kerf=3}\) (wymiar jądra jest równy \(\displaystyle{ 3}\)). Dla tego przekształcenia obliczyć \(\displaystyle{ f (1,2,0)}\) i \(\displaystyle{ f (2,-1,3)}\)

[Qń]

W którym momencie pojawia się problem?

Rozumiesz czym jest jądro przekształcenia i czym jest wymiar jądra? Masz świadomość tego, że jądro jest zawsze podprzestrzenią liniową wyjściowej przestrzeni?

Q.

[O-L-A]

Jądro to jest miejsce zerowe przekształcenia liniowego, a wymiar to ilość wektorów w bazie jądra??

[Qń]

Jądro to jest miejsce zerowe przekształcenia liniowego

Jeśli już to zbiór wszystkich miejsc zerowych, choć w algebrze liniowej raczej rzadko używa się określenia "miejsce zerowe".

A jak brzmi odpowiedź na moje pierwsze pytanie?

Q.

[O-L-A]

Od początku niestety jest problem.Heh, umiem wyliczyć jądro:) A jak mam podane to jądro to już nie wiem jak to ugryźć. To tak jakbym musiała to zrobić od tyłu:)

[Qń]

Jądro przekształcenia idącego z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\). Jak wyglądają podprzestrzenie tej przestrzeni mające wymiar trzy?

Q.

[O-L-A]

Może być np tak? \(\displaystyle{ A(x,y,z)=( 2x+y+4z; x+2z; y)}\)

-- 4 sie 2012, o 19:11 --

Odpowiadając na pytanie wcześniejsze. Czy te podprzestrzenie mające wymiar trzy bedą wyglądały np \(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3)}\) ?? Z góry przepraszam jeżeli pletę bzdury, ja jestem raczej z tych którym trzeba tłumaczyć jak krowie na rowie:) Język matematyki nie jest mi zbytnio bliski:)

-- 4 sie 2012, o 19:13 --

Ale dziękuję za próby pomocy:), ja muszę to zadanie zrobić i zrozumieć przede wszystkim.

[Marmat]

Jądro jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\).
Jeśli wymiar jądra jestb równy wymiarowi przestrzeni to jądro musi być całą przestrzenią. Wobec tego :
dla każdego \(\displaystyle{ x \in R^3 \ f(x)=0}\)
Więc jedyne takie odwzorowanie to odwzorowanie zerowe.
Inaczej:
\(\displaystyle{ dim R^3= dim Ker f+dim Im f}\)
\(\displaystyle{ 3= 3+ dim Imf \\
dim Imf=0}\)
Przestrzenią mającą wymiar zero jest przestrzeń zerowa.
Więc Im f jest przestrzenią zerową.
Co jeszcze raz dowodzi, że odwzorowanie jest zerowe.
Pozdrawiam.